∴a?PO，
∴PO的长即为点P到直线a的距离． 又∵a??，OA??，OB??
∴?AOB是二面角??a??的平面角，即?AOB?120?．
而四边形AOBP为一圆内接四边形，且PO为该四边形的外接圆直径．
∵四边形AOBP的外接圆半径等于由A、B、O、P中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO的长可利用?APB．
在?APB中，AP?BP?10，?APB?60?，∴AB?10．
由正弦定理：PO?2R?AB203．
?sin60?3说明：(1)该题寻找120?的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题
目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．
(2)充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形，∵PA?OA，PB?OB，∵PO即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．
典型例题十三
例13 如图，正方体的棱长为1，B1C?BC1?O，求： (1)AO与A1C1所成的角；
(2)AO与平面AC所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成的角．
解：(1)∵A1C1//AC，
∴AO与A1C1所成的角就是?OAC． ∵OC?OB，AB?平面BC1， ∴OC?OA（三垂线定理）． 在Rt?AOC中，OC?2，
AC?2， 2
∴?OAC?30?．
(2)作OE?BC，平面BC1?平面AC．
∴OE?平面AC，?OAE为OA与平面AC所成的角． 在Rt?OAE中，OE?151，AE?12?()2?． 222∴tan?OAE?OE5． ?AE5(3)∵OC?OA，OC?OB，∴OC?平面AOB． 又∵OC?平面AOC，∴平面AOB?平面AOC．
说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角??0,??，直线和平面所成角?2?????，二面角
?0,??三种． 0,?2???典型例题十四
例14 如图，矩形ABCD，PD?平面ABCD，若PB?2，PB与平面PCD所成的
角为45?，PB与平面ABD成30?角，求：
(1)CD的长；
(2)求PB与CD所在的角；
(3)求二面角C?PB?D的余弦值．
分析：从图中可以看出，四面体P?BCD是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC与平面BCD所成的二面角的余弦值为
PD?BC1?23，可见，基础四面体作为一部??PC?BD32?3分，经常出现在某些几何体中．
解：(1)∵PD?平面ABCD，∴PD?BC． 又BC?平面PDC，
∴?BPC为PB与平面PCD所在的角， 即?BPC?45?．
同理：?PBD即为PB与平面ABD所成的角， ∴?PBD?30?，
在Rt?PBC中，∵PB?2，∴BC?PC?2．
在Rt?PBD中，?PBD?30?，∴PD?1，BD?3． 在Rt?BCD中，BC?2，BD?3，∴CD?1．
(2)∵AB//CD，∴PB与CD所成的角，
即为PB与AB所成的角，?PBA即为PB与AB所成的角
∵PD?平面ABCD，AD?AB，∴PA?AB（三垂线定理）． 在Rt?PAB中，AB?CD?1，PB?2，∴?PBA?60?．
(3)由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CF． ∵PD?平面ABCD，∴PD?CE． 又CE?BD，∴CE?平面PBD，
CF为平面PBD的斜线，由于EF?PB， ∴由三垂线定理：PB?CF．
∴?CEF为二面角C?PB?D的平面角
在Rt?BCD中，BC?2，DC?1，BD?3，
∴CE?BC?CD6． ?BD3在Rt?PCB中，BC?2，PC?2，PB?2， ∴CF?BC?CP?1， PB∴sin?CFE?CB6． ?CF33， 33． 3∴cos?CFE?∴二面角C?PB?D的余弦值为
说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；
另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．
典型例题十五
例15 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，?BSC?90?，?ASC??ASB?60?，若截取SA?SB?SC?a
(1)求证：平面ABC?平面BSC； (2)求S到平面ABC的距离．
分析：要证明平面ABC?平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线．
(1)证明：∵SA?SB?SC?a， 又?ASC??ASB?60?，
∴?ASB和?ASC都是等边三角形， ∴AB?AC?a，
取BC的中点H，连结AH，∴AH?BC． 在Rt?BSC中，BS?CS?a，
∴SH?BC，BC?2222a，
2a222a22∴AH?AC?CH?a?(，∴SH?． a)?222a2a2222在?SHA中，∴AH?，SH?，SA?a，
222222∴SA?SH?HA，∴AH?SH，
∴AH?平面SBC．
∵AH?平面ABC，∴平面ABC?平面BSC． 或：∵SA?AC?AB，
∴顶点A在平面BSC内的射影H为?BSC的外心， 又?BSC为Rt?，∴H在斜边BC上，
又?BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点， ∴AH?平面BSC．
∵AH?平面ABC，∴平面ABC?平面BSC．
(2)解：由前所证：SH?AH，SH?BC，∴SH?平面ABC， ∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH?BC2?a， 22∴点S到平面ABC的距离为
2a． 2典型例题十六
例16 判断下列命题的真假
(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．
(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直； (3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．
分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体A1C中，平面AC?平面AD1，平面AC?平面AD1?AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1?AD，即过棱上一点A的直线AB但AB其错误的原因是AB1与棱垂直，1与平面ABCD不垂直，1没有保证在平面ADD1A1内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；
(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体A1C中，平面AD1?平面AC，AD1?平面ADD且AB?AD1，即AB1A1，AB?平面ABCD，与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；
(3)如上图，正方体A1C中，平面ADD1A1?平面ABCD，AD1?平面ADD1A1，AC?平面ABCD，AD1与AC所成的角为60?，即AD1与AC不垂直．
说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．
典型例题十七
例17 如图，在60?二面角??a??内有一点P，P到?、?的距离分别为3和5，