www.zk5u.com 中考资源网
2010年中考数学二轮复习——代数几何综合题
Ⅰ、综合问题精讲：
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析
?DC的中点，AE⊥AC【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是B???于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BFAD，EM切⊙O于M。
1
⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2＝ BC·CE；
2⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。 解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ???∵BFAD，∴∠DCA＝∠BAE，
∴△CAD∽△AEB
⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图)
?DC中点，∴HC＝HB＝1 BC， ∵A是B2
102
∵∠CAE＝90，∴AC＝CH·CE＝ BC·CE
2
?DC中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， ⑶∵A是B∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM2 ① 1
∵AC2＝ BC·CE，BC·CE＝8 ②
2①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC2＝17 ∵EC2＝AC2＋AE2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝
AE13＝ AC2
点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，
- 1 -
中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com
www.zk5u.com 中考资源网
将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.
【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90○。过C作CD⊥x轴，D为垂足．
（1）求点 A、B的坐标和AD的长； （2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。 解：（1）在y=2x+2中 分别令x=0，y=0．
得 A（l，0），B（0，2）． 易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2．
（2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）． 设过过B、A、C三点的抛物线为y5??a?6?a?b?c?0?17? 所以?c?2 ，解得?b???6?9a?3b?c?1???c?2???ax?bx?c2
所以y?56x?2176x?2
点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO．
【例3】（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为
245个平方单位？
- 2 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com
www.zk5u.com 中考资源网
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b 由题意，得??b=6?8k?b?0k 解得?????34
?b?6?所以，直线AB的解析式为y＝－
34x＋6．
（2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t
1° 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以
t6＝
10?2t10 解得 t＝11(秒)
302° 当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以
t10＝10?2t6 解得 t＝50(秒)
13（3）过点Q作QE垂直AO于点E． 在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝BO＝4
AB5在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·4＝8 －8t所以，S△APQ＝1AP·QE＝
5124252t·(8－8t)
5 ＝－5t＋4t＝24 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．
5（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）
点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作 PE⊥AB．
中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com
- 3 -
www.zk5u.com 中考资源网
【例4】（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y． （1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围． （2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由． 解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．
在Rt⊿ABC中，AC＝10， PC＝AC－AP＝10－x． ∵ PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC． 故
PEAB?PCAC1，即
PE8?10?x10,PE?8?x.
45x.
∴⊿PBC面积＝2PE?BC?24?125
又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝24?12x.
5即 y?48?245x，x的取值范围是0＜x＜10．
（2）这个判断是正确的． 理由： 由（1）可得，⊿PAD面积＝125x.
⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．
点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD．这样问题就非常容易解决了. Ⅲ、综合巩固练习 （100分 90分钟）
1、如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为
A （0，3 ），B（－1，0）、C（0，1）中，若△DEF各顶点坐标分别为D（3 ，0）、E（0，1）、F（0，－1），则下列判断正确的是（ ）
- 4 -
中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com
www.zk5u.com 中考资源网
A．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转90○得到; B．△DEF由△ABC绕O点逆时针旋转90○得到; C．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转60○得到; D．△DEF由△ABC绕O点顺时针旋转120○得到
2．如图2－5－9,已知直线 y=2x＋1与x轴交于A点，与y轴交
于B点，直线y=2x—1与x轴交于C点，与y轴交于D点，试判断四边形ABCD的形状．
3．如图2－5－10所示，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，设∠ABD=α，已知sinα是方
程25z2－35z+ 12=0的一个实根．点E、F分别是BC、DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF面积等于y.
⑴ 求出y与x之间的函数关系式；
⑵ 当E、F两点在什么位置时y有最小值？并求出这个最小值．
- 5 -
中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com