广东韶关2013届高三第二次调研考试数学试题 (理科) 2013.04
本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：
1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上； 2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得分；
3． 考试结束，考生只需将答题案交回。 参考公式：锥体的体积公式V?13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)． 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B)．
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合M??x|x?1?,N??x|2x?1?，则M?N= A．? B．?x|x?0? 2. 复数A.－
53?51?2i103
C．?x|x?1?
D．?x|0?x?1?
的共轭复数为
B.－
53?103i C.1－2i i D.1+2i
79844467933. 右图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上, 七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,
所剩数据的平均数和方差分别为
A.5; 1.6 B.85; 1.6 C.85; 0.4 D.5;0.4
4.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别 为e1,e2,e3,e4,其大小关系为 Ａ．e1?e2?e3?e4 Ｃ．e1?e2?e4?e3
Ｂ．e2?e1?e3?e4 Ｄ．e2?e1?e4?e3
④
③
② ①
5. 若OA=a，OB=b，则∠AOB平分线上的向量OM为 A.
a|a|?b|b| B.?(
a|a|?b|b|)，?由OM确定
C.
a?b|a?b| D.
|b|a?|a|b|a|?|b|
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6. 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I?Asin(?t??)(A?0,??0,0???的图象如右图所示，则当t?1?2)100A．?5安 B．5安
秒时，电流强度是
C．53安 D．10安
?1?7. 已知函数f?x?????log2x，若实数x0是方程f?3?x?x??0的解，且0?x1?x0，则
f?x1?的值为
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0
A．恒为正值
8. 已知棱长为3的正方体ABCD?A1B1C1D1，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则线段MN中点P的轨迹与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为 A．
43? B．
711? C．? D．?
366 第二部分 非选择题(共110分) 二.填空题(每小题5分,共30分)
9. 下面框图表示的程序所输出的结果是___________
(说明，M?N是赋值语句，也可以写成M?N，或M:?N) 10. 已知(2?x22)展开式的第7项为
9214，则实数x的值是______.
11. 斜率为k1(k1?0),直线l与椭圆
x22线?y?1交于P1、P2两点，
2段P1P2的中点为P，直线OP斜率为k2，则k1?k2?的值等于____________
12. 在等差数列?an?中,若a7?0,则a1?a2?...?an?a1?a2?...?a13?n(1?n?12)将此命题类比到等比数列中应是:在等比数列_____________________________________________.
第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分
13.在极坐标系中，圆心在(2，?)且过极点的圆的方程为______________. 14. 如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为 .
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?an?中,若_________,则
D E A
C B O l
15. 如果关于x的不等式x?3?x?4?a的解集是全体实数，则a的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本题满分12分)
在?ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2?a2?bc． （Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a?
17.(本题满分12分)
有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计, 中国队在每局比赛中胜日本队的概率为胜,并停止比赛.
（Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率; （Ⅱ）.设?表示比赛的局数,求?的期望值.
18. (本题满分13分)
已知动圆过定点N(0,2)，且与定直线L:y??2相切. （I）求动圆圆心的轨迹C的方程；
????????（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且AN??NB. 分别以A、B为切点作轨迹C233，设内角B为x，周长为y，求y?f(x)的最大值.
,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获
的切线，设其交点Q，证明NQ?AB为定值.
19. (本题满分14分)
如图，矩形ABCD，PA⊥平面ABCD于点A，M，N分别是AB、PC的中点. （Ⅰ）求证：MN//平面PAD;
（Ⅱ）设平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由.
p
20．(本题满分14分)
已知函数f?x??x?ax?b (其中a,b?R)
2N（I）若当x?[?1,1],f(x)?0恒成立,求
b?5a?2的取值范围； CBMA（II）若a?[?1,1],b?[?1,1],求f(x)无零点的概率;
D?5时，都有f(x)?55?5成立,则称这样f(x)(Ⅲ) 若对于任意的正整数k，当x?55??????k个52k个5是K2函数.现有函数g(x)?145x?(a?2)x?b?f(x),试判断g(x)是不是K2函数?并给
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予证明.
21. (本题满分14分) 已知函数F?x??3x?2?1,?x?2x?1?2??. ?（I）求F???2?F???2009??2009?1??2008??...?F???; ??2009?（II）已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 求证:a1a2a3...an?
2n?1. 2013年韶关市高三调研测试数学试题(理科)答案及评分标准
一、选择题答案 DCBDB AAC 二、填空题 9. 360 ， 10. ?14.
9213 ， 11. －
12 ， 12.，2, 13. ???22cos?
,15. ???,1?
三、解答题
16.(本题满分13分)
解：（Ⅰ）b+c?a?bc ， cosA?222b?c?a2bc222?12????????..2分
?0?A?? ?A?ACsinxBCsinA?3 ?????????????????????4分
BCsin332?x)????????????8分
（Ⅱ）??,?AC??32?3?sinx??sinx?2sinx????6分
同理：AB?BCsinA?sinC?2sin(2?3?x)??y?2sinx?2sin(?23sin(x??A?3
?6)?3??????????????????????10分
2?3?3 ?0?B?x?
?x??6?(?6,5?6) ??????????????????11分
?x??6??2即x??3时,ymax?33????????13分
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17. (本题满分12分)
(Ⅰ)设中国队以3:1获胜的事件为A.
若中国队以3:1获胜,则前3局中国队恰好胜2局,然后第4局胜. ?????????2分 所以, P(A)?C32()2?32128.. ???. ???????????????5分 ??3327(Ⅱ)??3,4,5
23131P???3??()?()?;.. ???. ???????????????7分
333102132.. ???. ???????????????9分 P???4??P?A??C3()??33278.. ???????????????10分 P???5??1?P???3??P???4??27所以所求的?的期望值E??3?18. (本题满分13分)
13?4?1027?5?827?32627???????????12分
解：（I）依题意，圆心的轨迹是以N(0,2)为焦点，L:y??2为准线的抛物线上??2分
因为抛物线焦点到准线距离等于4 所以圆心的轨迹是x2?8y （II）解法一：
????????由已知N(0,2)，设A(x1,y1),B(x2,y2).由AN??NB,即得(?x1,2?y1)??(x2,y2?2),
故 ????x1??x2?1??2?2??2?y1??(y2?2)
将（1）式两边平方并把x1?8y1,x2?8y2代入得y1??y2 （3） 解（2）、（3）式得y1?2?,y2?2222?，
且有x1x2???x2??8?y2??16. ????8分 抛物线方程为y?y?1418x,求导得y??14214x. 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
即y?x1x28)?(x1?x22x1(x?x1)?y1,y?x2(x?x2)?y2,x1?x22,14x1x?18x1,y?214x2x?18x2.2 解出两条切线的交点Q的坐标为(x1?x22,?2) ??11分
所以NO?AB?(,?4)?(x2?x1,y1?y2)?12(x2?x1)?4(2218x2?218x1)?0
2所以NQ?AB为定值，其值为0.
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????13分