2016年衡阳市八中初升高自主招生考试数学试卷及解析
县（市） 一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是
2.若实数a满足a?43a(a?2)1??2，则a?的值是 aaa学 校
3.如图，三角形ABC的面积为2，点D、E分别在边AB、AC上，
姓 名 ADAE1D ?x,?y，且y?x?，则三角形BDE面积的最大值是
ABAC2
|b?|a有四个实数解，则化简4.若关于x的方程||x?2?B a?ba?b|a|b???的结果是 |a?b||a?b|a|b|
5.若非零的实数a,x,y,z满足等式x2?y2的值是
xy?yz?zxA E C a(3x?2y)?a(4y?3z)?4y?3z?2y?3x，则
6.如图，在直角三角形ABC中，AC?4,BC?3，D是斜边AB上一动点，DE?BC，DF?AC，垂足分别是E,F，当EF的长最小时，cos?FED?
7.多项式x6?x4?x3?1被x2?x除的余式是
A F D
C
E B 8.已和a,b,c是互不等的实数，三个方程①x2?ax?b?0; ②x2?bx?c?0;③x2?cx?a?0中，①②有公共根p，②③有公共根q，③①有公共根r，则abc?
9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n，若n是偶数，将其减半；若n是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数n?6，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1（n是第1个数，1可多次出现），则n的所有可能值的个数是
10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是
2 3 4 5 3 5 4 7 5 6 … 9 11 … 7 10 13 16 … 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … … 1
二、解答题（本大题5小题，共70分）
15(,)11.（本题满分12分）已知点A(?5,0),B(5,0)，函数y?x?的图象是直线l，点Pab33在l上，满足?APB是钝角，试求a的取值范围. y
l P x O B A
12.（本题满分12分）已知关于x的函数y?kx2?2(k?1)x?k?3的图象与x轴有交点. （1）求k的取值范围；
（2）若函数图象与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0)，且kx12?2(k?1)x2?k?3?4xx12.试求k的值，并根据图象指出当k?1≤x≤k?3时，函数的最大值和最小值.
13.（本题满分12分）如图，点D是三角形ABC外接圆上一点，DB的延长线交过点A的切线于点E.若AB?AC，AC∥BD，AE?35，DB?4，求FC的长.
E B D A
F C 2
14.（本题满分16分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B、C作圆的切线交于点P，点Q是BC的中点，求证：AB?AQ?AC?AP.
A
O ?
C B Q
P
15.（本题满分18分）编号为1,2,?,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.
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试题及解答
一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是 解：这四个实数的和为4,2,1,?1，其积是-8.
2?4?5?7?6，所以这四个数分别是6?2,6?4,6?5,6?7，即32.若实数a满足a?43a(a?2)1??2，则a?的值是 aaa解：去分母得a2?4?3a2?2a?2a，移项得a2?2a?3a2?2a?4?0. 设a2?2a?t，则方程变为t2?3t?4?0，∴t?1或t??4（舍去）.
1?2. a3.如图，三角形ABC的面积为2，点D、E分别在边AB、AC上，由a2?2a?1得a2?2a?1?0，所以a?ADAE1?x,?y，且y?x?，则三角形BDE面积的最大值是 D ABAC2解：∵S?BDEA E C BDAE?S?ABE?(1?x)S?ABE?(1?x)S?ABC?2(1?x)y ABACB 119?2(1?x)(x?)??2x2?x?1??2(x?)2?，
248∴三角形BDE面积的最大值是
9. 8a?ba?b|a|b???的结果是 |a?b||a?b|a|b|4.若关于x的方程||x?2|?b|?a有四个实数解，则化简
解：显然a≥0.
若a?0，则方程可变为|x?2|?b，方程最多两解，不合题意，所以a?0. 方程可化为|x?2|?b?a.
当b?a时，方程可化为|x?2|?b?a，有两解，不合题意. 当b?a时，|x?2|?2a,|x?2|?0,有三解，不合题意.
当b?a时，|x?2|?b?a,|x?2|?b?a方程有四解，符合题意.
a?ba?b|a|ba?ba?bab????????1?1?1?1?2. 故b?a?0.从而
|a?b||a?b|a|b|a?bb?aab5.若非零的实数a,x,y,z满足等式x2?y2的值是
xy?yz?zxa(3x?2y)?a(4y?3z)?4y?3z?2y?3x，则
解：若3x?2y?0，则?a(4y?3z)?4y?3z，于是4y?3z?0； 若4y?3z?0，则a(3x?2y)??2y?3x，于是3x?2y?0；
4
?2y?3x?0?4y?3z?0若3x?2y?0且4y?3z?0，则由?得a?0；由?得a?0，矛
a(3x?2y)≥0a(4y?3z)≥0??盾.
故3x?2y?0且4y?3z?0.
于是6x?4y?3z，可令x?2t,y?3t,z?4t，所以 x2?y24t2?9t21?2?.
xy?yz?zx6t?12t2?8t226.如图，在直角三角形ABC中，AC?4,BC?3，D是斜边AB上一动点，DE?BC，DF?AC，垂足分别是E,F，当EF的长最小时，cos?FED?
解：连结CD，则CD?EF，所以EF的长最小时即为CD的长最
??FCD??小，此时CD?AB,于是?FED，所以
A F D
co?sFED?BC3cB?os?.
AB5C
E
B 7.多项式x6?x4?x3?1被x2?x除的余式是
解：x6?x4?x3?1?x4(x?1)(x?1)?x(x?1)(x?1)?x?1，所以余式是x+1.
8.已和a,b,c是互不等的实数，三个方程①x2?ax?b?0; ②x2?bx?c?0;③x2?cx?a?0中，①②有公共根p，②③有公共根q，③①有公共根r，则abc? 解：由p2?ap?b?0，p2?bp?c?0得，(a?b)p?b?c?0，∴p?同理q?c?b. a?ba?cb?a，r?. b?cc?a∴pqr??1.
又p,q,r互不相等，如p?q，则p,q①③的公共根，于是p?q?r，从而p?q?r??1，代入①②③有b?a??1,c?b??1,a?c??1，三式相加得0??3，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为p,r；②的两根为p,q；③的两根为q,r. 由根与系数关系，有a?pr,b?pq,c?rq，故abc?p2q2r2?1.
9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n，若n是偶数，将其减半；若n是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数n?6，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n按上述变换后的第8个数是1（n是第1个数，1可多次出现），则n的所有可能值的个数是 解：反推
128
32 64
21 16 8
20
5 10 2 1 4 3
16 8
1 2 4 1 2
5