∴n的所有可能值的个数是6.
10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是
2 3 4 5 3 5 4 7 5 6 … 9 11 … 7 10 13 16 … 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … … 解：观察知，表中第m行第n列的数是mn?1.由mn?1?2014得mn?2013?3?11?61，m是2013的正约数，所以(m,n)有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）
15(,)11.（本题满分12分）已知点A(?5,0),B(5,0)，函数y?x?的图象是直线l，点Pab33在l上，满足?APB是钝角，试求a的取值范围.
解：以AB为直径作圆，交l于点C,D,则点P在线段CD上（不含端点）.………4分 设点C(x0,y0)，则
15?(1)?y0?x0?33…………………………6分 ?22?x?y?5(2)0?0y D C A P O B l
x 把（1）代入（2），整理得，
x2?x?2?0，
∴x??2,x?1，……………………………8分 ∴C(?2,1),D(1,2).
故a的取值范围是?2?a?1.……………12分
12.（本题满分12分）已知关于x的函数y?kx2?2(k?1)x?k?3的图象与x轴有交点. （1）求k的取值范围；
（2）若函数图象与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0)，且kx12?2(k?1)x2?k?3?4xx12.试求k的值，并根据图象指出当k?1≤x≤k?3时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当k?0时，函数为y??2x?3，图象与x轴有交点.…………………2分 当k?0时，图象与x轴有交点的条件是
??4(k?1)2?4k(k?3)≥0
解得k≤1.…………………………………………………………………………分 综上，k的取值范围是k≤1.……………………………………………………4分 （2）x1?x2?2(k?1)k?3.………………………………………………5分 ,x1x2?kk由kx12?2(k?1)x1?k?3?0得，kx12?k?3?2(k?1)x1，
6
∴kx12?2(k?1)x2?k?3?4x1x2可化为
2(k?1)(x1?x2)?4x1x2………………………………………………………8分
2(k?1)k?3 ?4?kk解得，k?1或k??2.…………………………………………………………………10分 但k?1时，函数图象与x轴仅有一个交点，舍去. ∴2(k?1)?313，画图可知当?1≤x≤1时，最大值为，
222最小值为?3.…………………………………………………………………………12分
13.（本题满分12分）如图，点D是三角形ABC外接圆上一点，DB的延长线交过点A的k??2时，函数为y??2x2?2x?1??2(x?)2?切线于点E.若AB?AC，AC∥BD，AE?35，DB?4，求FC的长.
E B D A 解：∵AE是圆的切线，∴AE2?EB?ED.
设EB?x，则x(x?4)?45，解得x?5.…………………3分 ∵AE是圆的切线,∴?EAB??ACB. ∵AB?AC,∴?ACB??ABC,
∴?EAB??ABC,∴AE∥BC,…………………………5分 又BD∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形,………………7分 ∴BC?AE?35,AC?BE?5.
F C 35?FC455BFBD?，解得FC?，即.…………12分 ?FC53FCAC14.（本题满分16分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B、C作圆的切线交于点P，点Q是BC的中点，求证：AB?AQ?AC?AP. 证明：连接OP，则点Q在OP上.…………………2分
A 2∵OB?PB,OP?BC,∴PB?PQ?PO.…………4分 O ? 又由AC∥BD得，
设PA交⊙O于M，则PB2?PM?PA.……………6分 ∴PQ?PO?PM?PA, ∴?POM∽?PAQ， ∴∴
B Q C OMAQ…………………………………………8分 ?OPAPP OBAQ…………………………………………10分 ?OPAP又∵OQ∥AC， ∴?BOP??BAC，
∴Rt?OBP∽Rt?ACB， ∴∴
OBAC，………………………………………12分 ?OPABAQAC， ?APAB7
∴AB?AQ?AC?AP.…………………………………16分
15.（本题满分18分）编号为1,2,?,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：1?2?3???25?325.…………………………………………………………2分 设乙原来手中有卡片x张，平均数为y， 则原来甲手中有25?x张卡片，平均数为?xy?15?y?0.25(1)??x?1由题意得，??310?xy?325?xy?0.25?25?x?24?x325?xy.…………………………………4分
25?x………………………………………6分 (2)由(1)得，y?591?x (3)……………………………………………………………8分 441由(2)得，(310?xy)(25?x)?(325?xy)(24?x)?(25?x)(24?x)，
41310?25?25xy?310x?x2y?325?24?24xy?325x?x2y?(25?x)(24?x)，
41即xy?15x?50?(25?x)(24?x)………………………………………………………11分
4将(3)代入(2)得，
5911x?x2?15x?50?(25?x)(24?x)， 444解得x?16.………………………………………………………………………………15分 故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.
43. 4于是甲原来9张卡片总和为325?xy?153，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙把x?16代入（3），得y?手中所持的卡片：
甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分
8