狭义相对论课后题目解答
思考题
1 在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？
(A) 一切运动物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速．
(B) 质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的． (C) 在一惯性系中发生于同一时刻，不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的．
(D) 惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些．[A，B，D]
解答：真空中的光速为自然界的极限速率，任何物体的速度都不大于光速；质量、长度、时间与运动是紧密联系的，这些物理量的测量结果与参考系的选择有关，也就是与观察者的相对运动状态有关；同时同地具有绝对性，同时异地则具有相对性；相对论时间膨胀效应即运动的时钟变慢。 答案：（A、B、D）
2 两个惯性系K与K＇坐标轴相互平行，K＇系相对于K系沿x轴作匀速运动，在K＇系的x＇轴上，相距为L＇的A＇、B＇两点处各放一只已经彼此对准了的钟，试问在K系中的观测者看这两只钟是否也是对准了？[ 没对准 ]
????解答：在K’系中，A’、B’点的时空坐标分别为：A??x?A,tA?,B?xB,tB? ?????由题意：?t??t?A?tB?0，?x?xA?xB?L
在K系中，这两点的时空坐标分别为：A?xA,tA?,B?xB,tB?
?t??根据洛仑兹变换，?t?tA?tB?uu??xL?22c?c?0 22uu1?21?2cc故，在K系中的观测者看到这两只钟没有对准。
3 静止的?子的平均寿命约为?0 =2×106 s．今在8 km的高空，由于?介子的衰变产生一
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个速度为v = 0.998 c (c为真空中光速)的?子，此?子有无可能到达地面？[有可能] 解答：?子的固有寿命为：?0?2?10?6s，根据相对论时间膨胀效应，对于地面参考系运
动?子的寿命为：???0v21?2c?2?10?61?0.9982?3.16?10?5s
?子在?时间内运动的距离为：s?u??0.998c?3.16?10?5?9461m
而?在8km的高空，小于它运动的距离，所以?子可以到达地面。
4 某核电站年发电量为 100亿度，它等于36×1015 J的能量，如果这是由核材料的全部静止能转化产生的，需要消耗核材料的质量是多少？[ 0.4 kg ] 解答：根据质能关系式：
?m??E?0.4kg 2c习 题
1 在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s，则乙相对于甲的运动速度是(c表示真空中光速)多大？[(3/5) c] 解答：由题意，甲测得的时间间隔为固有时间，即?0?4s
设乙相对于甲的运动速度为u，根据相对论时间膨胀效应，乙测得的时间间隔???01?uc22
则 5?4u21?2c 解得：u?3c 5
2 ?子是一种基本粒子，在相对于?子静止的坐标系中测得其寿命为?0＝2×106 s．如果
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?子相对于地球的速度为v?0.988c (c为真空中光速)，则在地球坐标系中测出的?子的寿
命是多长？[1.29×105 s]
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解答：由题意，?子的固有寿命为?0?2?10s，根据相对论时间膨胀效应，对于地面参考系运动的?子的寿命为：???6?0v21?2c?2?10?61?0.9882?1.29?10?5s
3 两个惯性系中的观察者O和O′以 0.6 c (c表示真空中光速)的相对速度互相接近．如果O测得两者的初始距离是20 m，则O′测得两者经过时间多少秒后相遇？[8.89×108]
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解答：由题意，观察者O测得的两者的初始距离为固有长度，即L0?20m 根据相对论长度收缩效应，观察者O?测得的两者之间的距离为：
u2L?L01?2?20?1?0.62?18m
c则，观察者O?测得两者相遇所需的时间为：
?t?L18??8.89?10?8s u0.6c
4 一列高速火车以速度u驶过车站时，固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间的距离为1 m，则车厢上的观察者应测出这两个痕迹之间的距离是多大？[
11?(u/c)2 (SI) ]
解答：由题意，车厢上的观察者测得的这两个痕迹之间的距离为固有长度L0，而地面上的观察者测看来，这两个痕迹是随车厢一起运动的，测得长度会发生相对论长度收缩，则
L0?11?uc22
5 在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生?t =2s；而在另一惯性系S＇中，观测第二事件比第一事件晚发生?t?=3s．那么在S＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？[6.72×108 m]
解答：设两惯性系的相对运动速度为u，由题意，S系中测得的两事件的时间间隔?t?2s为固有时间，根据相对论时间膨胀效应，S?系测得的时间间隔
?t???tu21?2c即：3?2u21?2c 解得： u?5c 3则S?系中发生的这两事件的地点之间的距离L为：
L?u?t?
5c?3?6.71?108m 36 一体积为V0，质量为m0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A以速度v运动．观察
m0c2者A测得其密度是多少？[ (SI) ] 22V0(c?v)解答：观察者A测得该立方体沿运动方向的一棱边会发生相对论收缩效应，则其体积为
v2V?V01?2 c根据质速关系，而观察者A测得的该立方体的质量为：
m?m01?vc22 则观察者A测得的密度为：
m???V
m0c2 ??v2?V0?c2?v2?V0?1?2??c?m07 半人马星座?星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m．设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座?星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？（4.5年，0.20年） 解答：以地球上的时钟计算，所需的时间为
S4.3?1016?t???4.5年 8v0.999?3?10?365?24?60?60以飞船为参考系，地球与?星之间的距离会发生相对论长度收缩效应，则它们之间的距离为：
v2S?=S1-2?4.3?1016?1?0.9992?0.192?1016m
c飞船上的时钟计算的时间为：
S?0.192?1016?t????0.2年 8v0.999?3?10?365?24?60?60
8 一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0 =90 m，相对于地面以v?0.8 c (c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过． 求： (1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔；(2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔．[2.25×107 s ；3.75×107 s]
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解答：（1）观测站测得的飞船的长度L会发生相对论长度收缩效应，即
v2L?L01?2?90?1?0.82?54m
c则观察者测得飞船船身通过观测站的时间间隔为：
?t?L54??2.25?10?7s v0.8c（2）宇航员测得飞船通过观测站的时间间隔为：
?t??
L090??3.75?10?7s v0.8c9 观察者甲以0.8c的速度（c为真空中光速）相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一质量为1 kg的物体，则甲、乙测得此物体的总能量分别是多大？[9×1016 J ，1.5×1017 ] 解答：由题意，物体相对与甲是静止的，则甲测得的此物体的总能量为：
E0?m0c2?1?3?108?3?108?9?1016J
而物体相对于乙是运动的，根据质速关系，乙测得该物体的质量为：
m?m05?kg
0.8c231?()c则乙测得该物体的总能量为：
5E?mc2??9?1016?1.5?1017J
3
10 要使电子的速度从v1 =1.2×108 m/s增加到v2 =2.4×108 m/s必须对它作多少功？已知电子静止质量me ＝9.11×1031 kg．[2.95×105 eV ]
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解答：根据狭义相对论动能定理，对电子所作的功A为：
A?memec2?c2?4.72?10?14J?2.95?105eV vv1?(2)21?(1)2cc
11 设有宇宙飞船A和B，固有长度均为l0 = 100 m，沿同一方向匀速飞行，在飞船B上观测到飞船A的船头、船尾经过飞船B船头的时间间隔为?t= (5/3)×107 s，求飞船B相对于
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飞船A的速度的大小．[2.68×108 m/s]
解答：设两飞船的相对速度大小为u，由题意，以飞船B为参考系，飞船A的船头和飞船
B的船头重合，飞船A的船尾与飞船B的船头重合，这两个事件是在同一地点相继发生的，所以飞船B测得的时间间隔是固有时间，即?0??t?5?10?7s 3以飞船A为参考系，飞船B的船尾和飞船A的船头重合，飞船B的船头与飞船A的船尾重合，这两个事件是在不同地点发生，故根据相对论时间膨胀效应，时间间隔为：
???01?uc22
又由飞船的固有长度为l0?100m，飞船A测得的这两个事件的时间间隔可以写为：
??l0，联立以上各式可以得到： u5?10?710038?810ms 解得：u?2.6? /2uu1?2c
12 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测，求：（1）隧道的尺寸； (2) 设列车的长度为l0，它
2L1?(v/c)?l0全部通过隧道的时间． [L1?v； (SI) ]
2vc2解答：（1）由于列车沿隧道方向运动，在与运动方向垂直的横截面上不发生相对论收缩效
应，故从列车上观测，横截面尺寸不变，隧道的长度在运动会发生相对论收缩效应，则车上测得的隧道长度L?为：
v2L??L1?2 c（2）以列车为参考系，测得的列车全部 通过隧道的时间?t为：
h v d/2 d L L1??t?v?l02c v2习题4-12图