第13讲
平面向量的综合计算与应用
高考要求
平面向量的相关概念 向量加法与减法 向量的数乘 向量的线性运算 两个向量共线 平面向量的基本定理 平面向量 平面向量的基本用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运定理及坐标表示 算 用坐标表示的平面向量共线的条件 数量积 平面向量的数量数量积的坐标表示 积 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 向量的应用 用向量方法解决简单的问题 平面向量的正交分解及其坐标表示 平面向量 B C C B A B C C C C B C B 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．
2. 掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量
共线的条件．
3. 了解向量的线形运算性质及其几何意义．
4. 了解平面向量的基本定理及其几何意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量
的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件．
5. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量数量积与向量投影的关系；
6. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用
数量积判断两个平面向量的垂直关系
2010年·暑假 高一数学·第13讲·A·学生版 page 1 of 12
知识精讲
板块一：向量的综合计算
（一）知识内容
（二）典例分析
2010年·暑假 高一数学·第13讲·A·学生版 page 2 of 12
【例1】 （2008年辽宁高考）
?????????????已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?( )
?????????????????1?????2????2???1??? A．2OA?OB B．?OA?2OB C．OA?OB D．?OA?OB
3333
????????????????????【例2】 已知a,b是不共线的向量，AB?2a?5b，BC??a?8b，CD?3(a?b)，则A、B、C、D四点中共
线的三点是___________ ??????????????????【解析】 AC?AB?BC?2a?5b?a?8b?a?13b，
??????????????????????AD?AC?CD?a?13b?3(a?b)?4a?10b?2AB，故A,B,D三点共线．
????1????????【例3】 已知任意四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，求证：EF?(AB?DC)．
2
【例4】 （2009年江苏卷）
????????已知向量a和向量b的夹角为30?，a?2，b?3，则向量a和向量b的数量积a?b? ．
【例5】 （2009年重庆高考卷）
???????已知|a|?1，|b|?6，a?b?a?2，则向量a与向量b的夹角是（ ）
??A．
π 6B．
π 4 C．
π 3 D．
π 2
??????【例6】 已知向量a与b的夹角为30?，a?1，a?b?7，则b? ．
2010年·暑假 高一数学·第13讲·A·学生版 page 3 of 12
???【例7】 平面内给定三个向量a?(3，2)，b?(?1，2)，c?(4，1)，回答下列问题：
??⑴求3a?b?2c；
???⑵求满足a?mb?nc的实数m，n；
????⑶若(a?kc)∥(2b?a)，求实数k；
????????????⑷设d?(x，y)满足(d?c)∥(a?b)且|d?c|?1，求d．
??????13?????【例8】 已知平面向量a?(3,?1),b?(,)，向量x,y满足x?a?(t?3)b,y??ka?tb,其中k和t为不同时
22为零的实数，
??⑴若x?y,求此时k和t满足的函数关系式k?f(t)；
???⑵若x//y,求此时k和t满足的函数关系式k?g(t)；
???????【例9】 已知a?(3,4)，b?(4,3)，求x,y的值使(xa?yb)?a，且xa?yb?1．
2010年·暑假 高一数学·第13讲·A·学生版 page 4 of 12
????????【例10】 已知向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，且a,b满足关系ka?b?3a?kb(k?0)
??⑴求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)； ????⑵a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值；
??⑶求a与b夹角的最大值．
【例11】 已知锐角?ABC的外接圆的圆心为O，M为BC边上的中点，由顶点A作AG?BC，并在AG上取
??????????????????????一点H，使AH=2OM，又H，M在直线BC的同一侧，且OA=a，OB=b，OC=c.
?????????????⑴用a、b、c表示OM与OH； ⑵证明BH?AC，CH?AB．
【例12】 设?ABC的外心为O，以线段OA,OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC,OD为邻边
作平行四边形，它的第四个顶点为H．
???????????????????????，OB?b，OC?c，⑴若OA?a用a、b、c表示OH；
⑵求证：AH?BC；
?????⑶设△ABC中，?A?60?,?B?45?，外接圆半径为R， 用R表示OH．
2010年·暑假 高一数学·第13讲·A·学生版 page 5 of 12