【例13】 如图，?AOE和?BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使BC?t(t?0)，连AC交BE于D????????⑴用t表示向量OC和OD的坐标；
????????⑵求向量OD和EC的夹角的大小．
点．
yA
ODBCEx??????13?????【例14】 已知平面向量a?(3,?1),b?(,)，向量x,y满足x?a?(t?3)b,y??ka?tb,其中k和t为不同时
22为零的实数，
??⑴若x?y,求此时k和t满足的函数关系式k?f(t)；
???⑵若x∥y,求此时k和t满足的函数关系式k?g(t)．
???【例15】 平面内给定三个向量a?(3，2)，b?(?1，2)，c?(4，1)，回答下列问题：
??⑴求3a?b?2c；
???⑵求满足a?mb?nc的实数m，n；
????⑶若(a?kc)∥(2b?a)，求实数k；
????????????⑷设d?(x，y)满足(d?c)∥(a?b)且d?c?1，求d．
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???????【例16】 已知a?(3,4)，b?(4,3)，求x,y的值使(xa?yb)?a，且xa?yb?1．
????????【例17】 已知向量a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，且a,b满足关系ka?b?3a?kb(k?0)
??⑴求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)； ????⑵a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出对应的k值；
??⑶求a与b夹角的最大值．
【例18】 设△ABC的外心为O，以线段OA,OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC,OD为邻边
作平行四边形，它的第四个顶点为H．
???????????????????????，OB?b，OC?c，⑴若OA?a用a、b、c表示OH；
⑵求证：AH?BC；
?????⑶设△ABC中，?A?60?,?B?45?，外接圆半径为R， 用R表示OH．
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【例19】 已知锐角?ABC的外接圆的圆心为O，M为BC边上的中点，由顶点A作AG?BC，并在AG上取
??????????????????????一点H，使AH=2OM，又H，M在直线BC的同一侧，且OA=a，OB=b，OC=c.
?????????????⑴用a、b、c表示OM与OH； ⑵证明BH?AC，CH?AB．
【例20】 如图，?AOE和?BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使BC?t(t?0)，连AC交BE于D????????⑴用t表示向量OC和OD的坐标；
????????⑵求向量OD和EC的夹角的大小．
点．
yA
ODBCEx板块二：向量与三角形的四心
（一）知识内容
????????ABAC??????)(??0)的直线过?ABC的内心(?BAC的角⑴内心：过点A，方向平行于向量?(???|AB||AC|?????????????????????????分线所在直线)；|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P为?ABC的内心； ????????????⑵外心：PA?PB?PC?P为?ABC的外心；
????????????????????????⑶垂心：PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心（先补充数量积的相关知识）
?????????????⑷重心：PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心．
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????1????????????<教师备案>另外：在?ABC中，G为平面上任意一点，有GO?(GA?GB?GC)?O为?ABC的重心
3????1????????????????????????????????????GO?(GA?GB?GC)?(GA?GO)?(GB?GO)?(GC?GO)?0，
3?????????????即OA?OB?OC?0，知O为?ABC的重心；
?????????1????????????????1???若O为?ABC的重心，则(GA?GB?GC)?(3GO?OA?OB?OC)
33??????????????????????????????????1???OA?OB?OC?OA?2OE?0，故(GA?GB?GC)?GO.
3（二）典例分析
????2?????【例21】 在?OAB中，M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON,AM交点，利用向量证明AP?AM，
3即重心为中线的一个三等分点．
?????????????【例22】 若O是?ABC内一点，OA?OB?OC?0，则O是?ABC的（ ）
Ａ．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【例23】 （2003年天津）
??????????????????ABACO是平面内一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA?????????????，
?ABAC?????[0,??)，则P的轨迹一定通过?ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
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?????????????【例24】 若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则内角C的大小为____
C
O
BAD
C'
【例25】 (2005年-全国高考理I-15题)
?????????????????非正△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH?m(OA?OB?OC)， 求实数m的值．
家庭作业
习题1. （2009年重庆高考卷）
???????已知|a|?1，|b|?6，a?b?a?2，则向量a与向量b的夹角是（ ）
??A．
π 6B．
π 4 C．
π 3 D．
π 2
习题2. （2008年辽宁高考）
?????????????已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?( )
?????????????????1?????2????2???1??? A．2OA?OB B．?OA?2OB C．OA?OB D．?OA?OB
3333
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