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?
1?111?1????? 4?2n?1n??231?11??????．???????????????????????????1084?n?1n??2分
因
为
311??Tn??????0?81?n?4n??，
12所以
Tn?3．??????????????????11分 8因为Tn?1?Tn?1?1??4?n?1n?1???0，所以数列?3?Tn?是递增数
列．????????????12分
所
以
Tn?T1?13分 所1．?????????????????????????????????6以13?Tn?．??????????????????????????????????6814分 20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （
1
）
解
：
因
为
f(x)??x3?ax2?b，所以
2a??f?(x)??3x2?2ax??3x?x??．????????1分
3??当
a?0时，
f?(x?)，函数
f(x)没有单调递增区
间；?????????????????2分
当a?0时，令f?(x)?0，得0?x?故
2a． 3调
递
增
区
间
为
f(x)的单
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?2??0,a?；?????????????????????????3分 ?3?当a?0时，令f?(x)?0，得故
2a?x?0． 3单
调
递
增
区
间
为
f(x)的
?2??a,0?．?????????????????????????4分 ?3?综上所述，当a?0时，函数f(x)没有单调递增区间；
当a?0时，函数f(x)的单调递增区间为?0,当
??2?a?； 3?调
递
增
区
间
为
a?0时，函数
f(x)的单
?2?a,0??．??????????????5分 3?? （2）解：，由（1）知，a??3,4?时，f(x)的单调递增区间为?0,??2?a?，单调递减区间为3????,0?和??2?a,???． ?3??????????
????6分
所
以
函
数
f(x)在
x?0处取得极小值
f?0??b，????????????????????7分
函
数
3f(x)在
x?2a3处取得极大值
?2a?4af????b．??????????????????8分 ?3?27由于对任意a??3,4?，函数f(x)在R上都有三个零点，
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所以
?f???f??0???2a????0.?3?0即
,?b?0,?3??????????????????????????10分 ?4a?b?0.??27解
得
4a3??b?0．????????????????????????????????2711分
因
为
对
任
意
a??3,4?，
4a3b??27恒成立，所以
?4a3?4?33b?????4．??????13分 ???2727??max所
以实数
b的取值范围是
??4,0?．??????????????????????????14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （
1
）
解
：
依
题
意
可
得
A(?1,0)，
B(1,0)．?????????????????????????1分
y2设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，
b21?b2因为双曲线的离心率为5，所以?5，即b?2．
1所
2以双曲线
C的方程为
y2x??1．??????????????????????????3分
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（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），
则
直
线
AP的方程为
y?k(x?1)，???????????????????????????4分
联
立
方
程
组
?y?k?x?1?,???????????????????????????????5分 ?2y2?1.?x??42222整理，得4?kx?2kx?k?4?0，
??解得
x??1或
4?k2x?4?k2．所以
4?k2x2?．??????????????????????6分 24?k同理可
得，
4?k2x1?．???????????????????????????????7分 4?k2所
以
x1?x2?1．??????????????????????????????????
?8分
证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则
kAP?y1x1?1，
kAT?y2．????????????????????????????4分 x2?1为
因
kA?kP，所以
y1y?2x1?1x2?1，即
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y12?x1?1?2?y22?x2?1?2．??????????????5分
y12y222?1，x2??1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x?4421即
y12?4?x12?1?，
y22?4?1?x22?．?????????????????????????6分
所
以
4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2，即
x1?11?x2．????????????????????7分 ?x1?1x2?1所
以
x1?x2?1．??????????????????????????????????
?8分
证
法3
：设点
P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y14分 (x?，???????????????1)x1?1联
立
方
程
组
y1?y??x?1?,?x?1?1????????????????????????????5分 ?2?x2?y?1.??4222222?4(x?1)?yx?2yx?y?4(x?1)?0， 整理，得?1?111?1解得
x??1或
4(x1?1)2?y12．?????????????????????????6分 x?224(x1?1)?y1114(x1?1)2?y12x?x?将y?4x?4代入x?，得，即． 2x1x14(x1?1)2?y122121所以
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