式（2-10）中要用到反三角函数。实际上，更方便的算法是求出视在阻抗的电阻分量R和电抗分量X即可。
将电流和电压写成复数形式
U?Ucos?1U?jUsin?1U （2-11） I?Icos?1I?jIsin?1I （2-12）参照式（2-3）和式（2-4），有
...U?1(u2?ju1) （2-13） 2I?于是
.1(i2?ji1) （2-14） 2Uu2?ju1? （2-15） .i?ji21I.将式（2-15）的实部和虚部分开，其实部则为R，虚部为X，所以
u1i2?u2i1X?2i1?i22R? （2-16）
u1i1?u2i2 （2-17） 22i1?i2由于（2-16）和（2-17）中用到了两个采样值的乘积，所以称为两点乘积法。 2.2.1 导数法
导数法只需知道输入正弦量在某一时刻t1的采样值及该时刻对应数，即可算出有效值和相位。以电流为例，设i1为t1时刻的电流瞬时值，表达式为
i1?2Isin(?t1??0I)?2Isin?1I （2-18）
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则t1时刻电流的导数为
'i1??2Icos?1I （2-19）
也可写成
'i1??2Icos?1I （2-20）
将式（2-18）、式（2-20）和式（2-3）、式（2-4）对比，可见式（2-20）中
i1'i1'的与式（2-4）中的i2的表达式相同，因此可以用代替式（2-4）中的i2，??即可写出
2I2?i21?('i1?)2 （2-21）
tg?1I?i1? （2-22） 'i1X?u121i1'??u1'i?()i1'?i1 （2-23）
2?R?u1i1?21'u1i1'??i1'i?(?)2 （2-24）
为求导数，可取t1为两个相邻采样时刻n和n+1的终点（如图2-2所示），然后用差分近似求导，则有
'i1?1(in?1?in) （2-25） Ts'u1?1(un?1?un) （2-26） Ts7
而t1时刻的电流、电压瞬时值则用平均值代替，有
i1?u1?12(in?1?in) （2-27）
1(un?1?un) （2-28） 2in?1inanbnmnt1n?1nTSn?1nTS
图2-2 导数算法采样示意图 图2-3 用差分近似求导示意图
分析指出，对于50Hz的正弦量来说，只要采样频率高于1000Hz，则差分近似求导引入的误差远小于1%，是可以忽略的。 2.2.1 半周积分算法
半周期积分算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为一个常数S，即
T2S=?02Isin(?t+?)dt
T2??02Isin(?t)dt?22?I （2-29）
积分值S与积分起点的初相角?无关，因为画有断面线的两块面积显然是相等的，如图3-4所示。式（2-29）的积分可以用梯形法则近似求出：
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N??211S??i0??ik?iN?Ts （2-30） ?2?2k?12????式中
ik：第k次采样值
N：每个周期的采样点数
i0：k?0时的采样值
iN：k?N时的采样值
22Ts：采样间隔
图2-5所示，只要采样率足够高，用梯形法则近似积分的误差可以做到很小。
S?????S??N20k
图2-4 半周期积分法原理示意图 图2-5 用梯形法近似半周期积分示意图
求出S值后，应用式（2-29）即可求得有效值
I=S??22 （2-31）
2.3 突变量电流算法
线路发生故障时，短路示意图如图2-6所示。对于系统结构不发生变化的线性系统，利用叠加原理可以得到如图2-7所示的两个分解图。
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KRim(t)图2-6 短路示图
im(t) 故障后的测量电流
RRiL(t)ik(t)uk(t)a)图2-7 短路分解图
(b)(a)正常运行状态 （b）短路附加状态
iL(t) 负荷电流 iK(t)故障电流分量
由叠加原理可得
im(t)?iL(t)?iK(t) （2-32）
则故障电流分量为
iK(t)?im(t)?iL(t) （2-33）
对于正弦信号而言，在时间隔整周的两个瞬时值，其大小是相等的，即
iL(t)?iL(t?T) （2-34）
式中
iL(t)：t时刻的负荷电流
iL(t?T)：比t时刻提前一个周期的负荷电流
T：工频信号的周期 因此，故障分量的计算式转化为
iK(t)?im(t)?iL(t?T) （2-35）
由于iL(t)是连续测量的，所以在非故障阶段测量电流就等于负荷电流，即
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