2015-2016高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测 新
人教A版选修1-2
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b，c∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是(D) A．ad－bc＝0 B．ac－bd＝0 C．ac＋bd＝0 D．ad＋bc＝0
2．(2013·东莞二模)复数(1＋2i)i(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(B) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．复数z＝i(1＋i)(i为虚数单位)的模等于(B) A．1 B.2 C．0 D．2
4．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i则(C) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
4
5．i是虚数单位，??1＋i?1－i???
等于(C)
A．i B．－i C．1 D．－1
2
解析：∵1＋i（1＋i）2i
1－i＝（1－i）（1＋i）＝2
＝i，
?1＋i?4
∴??1－i??
＝i4＝1. 6．复数z＝
a（a＋2）a－1
＋(a2
＋2a－3)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为(C)
A．a＝0 B．a＝0，且a≠－1
C．a＝0，或a＝－2 D．a≠1，或a≠－3
?a（a＋2）解析：依题意得??a－1＝0， ??a2＋2a－3≠0，
解得a＝0，或a＝－2. （12
7．复数＋2i）
3－4i的值是(A)
A．－1 B．1 C．－i D．i
1
（1＋2i）－3＋4i解析：＝＝－1.
3－4i3－4i
i
8．复数z＝在复平面上对应的点位于(A)
1＋iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ii（1－i）
解析：z＝＝ 1＋i（1＋i）（1－i）111＝(i＋1)＝＋i. 222
∴复数z的对应点在第一象限． 3＋2i3－2i9．复数－＝(D)
2－3i2＋3iA．0 B．2 C．－2i D．2i
3＋2i3－2ii（2－3i）i（2＋3i）解析：－＝＋＝i＋i＝2i.
2－3i2＋3i2－3i2＋3i
10．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是方程z＝－3＋4i的一个根，则z等于(C) A．1±2i B．－1±2i
C．1＋2i，或－1－2i D．2＋i，或－2－i
解析：若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可以采用验证的方法．∵(1＋2i)＝1＋4i＋(2i)＝－3＋4i，∴z＝1＋2i或－1－2i.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 3－i11．计算：＝________(i为虚数单位)．
1＋i3－i（3－i）（1－i）2－4i解析：＝＝＝1－2i.
1＋i（1＋i）（1－i）2答案：1－2i
12．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是1． 11－7i13．设a，b∈R.a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
1－2i
11－7i11－7i（11－7i）（1＋2i）11＋15i＋14
解析：由a＋bi＝得a＋bi＝＝＝＝5
1－2i1－2i（1－2i）（1＋2i）1＋4＋3i，所以a＝5，b＝3，a＋b＝8.
答案：8
14．给出下列命题：①若z∈C，则z≥0；②若a，b是实数，且a>b，则a＋i>b＋i；12
③a∈C，则(a＋1)i是纯虚数；④z＝，则z＋1对应的点在第一象限．其中正确的有
i
2
2
2
2
2
2
_______________个．
答案：0
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)如果(x＋2y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，求实数x，y的值． 解析：由复数相等的充要条件，有
???x＋2y＝2x＋3y，?x＝2，? ??∴x＝2，y＝－2. ?y－1＝2y＋1?y＝－2.??
2－i216．(12分)已知z＝2＋(1－i)，求|z|.
（3－4i）（1＋i）解析：∵z＝
2－i2－i2－i2
－2i＝－2i＝2＋(1－i)＝
（3－4i）（1＋i）（3－4i）（2i）8＋6i
（2－i）（8－6i）（2－i）（8－6i）10－20i111－2i＝－2i＝－2i＝－i，
（8＋6i）（8－6i）100100105
?111?∴|z|＝?－i?＝
?105??1?＋?－11?＝485. ?10??5?10????
m（m－2）2
＋(m＋2m－3)i，当m为何值时：
m－1
22
17．(14分)已知m∈R，复数z＝(1)z∈R? (2)z是纯虚数？ (3)z<0?
分析：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，
z为纯虚数；当且仅当b＝0且a<0时，z<0.
解析：(1)由m＋2m－3＝0且m－1≠0，得
2
m＝－3，所以当m＝－3时，z∈R.
m（m－2）??＝0，m－1(2)由? 解得m＝0或m＝2， 2??m＋2m－3≠0
所以当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．
2
m＋2m－3＝0，??
(3)当?m（m－2） 时z<0；
<0??m－1
??m＝1或m＝－3，
即? 即m＝－3时z<0. ?m<0或1 点评：要完整理解复数为纯虚数的等价条件．分母不为0不可忽视． 18．(14分)已知集合M＝{1，(m－2m)＋(m＋m－2)i}，N＝{－1，1，4i}，若M∪N＝N， 2 2 3 求实数m的值． 解析：∵M∪N＝N，∴M?N. 由(m－2m)＋(m＋m－2)i＝－1， ??m－2m＝－1，得?2解得m＝1. ?m＋m－2＝0.? 22 2 由(m－2m)＋(m＋m－2)i＝4i， ??m－2m＝0，得?2解得，m＝2. ?m＋m－2＝4.? 2 22 综上知m的值为1或2. 19．(14分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2， z1·z2是实数，求z2. 解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i. 设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴ z2＝4＋2i. 20．(14分)求虚数z，使之同时满足以下两个条件： －－ (1)|z－3|＝|z－3i|； (2)z－1＋ 5 是实数． z－1 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)， －－ 由|z－3|＝|z－3i|，得 |x－yi－3|＝|x－yi－3i|?y＝－x.① 由z－1＋ 5522 是实数，得x－1＋yi＋∈R，y≠0?(x－1)＋y＝5.② z－1（x－1）＋yi ??x＝2，??x＝－1， 联立①和②，得?或? ??y＝－2y＝1.?? ∴z＝2－2i或z＝－1＋i. 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013·茂名一模)计算：i(1＋i)＝(A) A．－2 B．2 C．2i D．－2i 4 2 2．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于(B) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1 3．(2013·深圳二模)i为虚数单位，则i＋等于(A) iA．0 B．2i C．1＋i D．－1＋i 4．对于复数z＝a＋bi有(B) A．|z|>|z| B．|z|＝|z| C．|z|<|z| D．|z|＝z 5. 1－3i（3＋i） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ＝(B) 13131313A.＋i B．－－i C.＋i D．－－i 444422226．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是(A) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把 z化成标准的a＋bi(a，b∈R)形式，然后由共轭复数定义得出z＝－1－i. － 解析：由z＝i(i＋1)＝－1＋i，及共轭复数定义得z＝－1－i. －－22 7．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z＋z的虚部为(A) A．0 B．－1 C．1 D．－2 －－2222 解析：因为z＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z ＝(1＋i)＋(1－i)＝2i－2i＝0，选A. 8．若1＋2i是关于x的实系数方程x＋bx＋c＝0的一个复数根，则(D) A．b＝2，c＝3 B．b＝2，c＝－1 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－2，c＝3 解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i也是该方程的另一个根，所以1＋2i＋1－2i＝2＝－b，即b＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c，故选D. 9．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(A) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 解析：因为z(2－i)＝11＋7i，所以z＝ 2 2 － 11＋7i ，分子分母同时乘以2＋i，得z＝2－i （11＋7i）（2＋i）22＋11i＋14i＋7i22－7＋25i22－7＋25i15＋25i ＝＝＝＝＝3＋5i. 22 （2－i）（2＋i）4－i4－i4＋15 10．复数方程||z＋i|－|z－i||＝2对应的复平面内的曲线是(D) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．两条射线(包括端点) 5