第2课时 对数函数的图象和性质
学习目标 1．能说出对数函数的性质； 2．会画出对数函数的大致图象； 3．能根据对数函数的性质解决大小比较问题； 4．能解决与对数函数相关的综合问题. 对数函数的图象与性质 重点难点 重点：对数函数的图象特征以及对数函数的单调性； 难点：对数函数性质的综合应用； 疑点：对数函数单调性与底数a的关系. a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性 过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 质 函数值 当0＜x＜1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 的变化 当x＞1时，y＞0 当x＞1时，y＜0 单调性 在(0，＋∞)上递增 在(0，＋∞)上递减 预习交流1 在同一坐标系下，对数函数的图象与其底数有什么关系？ 提示：设y1＝logax，y2＝logbx，其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1,0＜b＜1)，当x＞1时，“底大图低”，即若a＞b，则y1＜y2；当0＜x＜1时，“底大图高”，即若a＞b，则y1＞y2(如下图)．
预习交流2
在同一坐标系下，函数y＝logax和函数y?log1x的图象有何关系？
a
提示：关于x轴对称． 预习交流3
函数f(x)＝loga|x|的定义域、值域、奇偶性、单调性如何？
提示：定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；值域是R；是偶函数．当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．
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一、与对数函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域：
11
(1)y＝log2；(2)y＝；
log4x4x－3
(3)y＝log0.5(5x－4).
思路分析：主要根据求函数定义域的一般要求以及对数中真数大于零等建立不等式组求解．
13
解：(1)要使函数有意义，须满足＞0，即4x－3＞0，解得x＞，
44x－3
3
，＋∞?. 所以函数定义域是??4?
??x>0，
(2)要使函数有意义，须满足?
?log4x≠0，?
??x>0，
即?即x＞0且x≠1. ?x≠1.?
所以函数定义域是(0,1)∪(1，＋∞)．
4
(3)要使函数有意义，应满足log0.5(5x－4)≥0，即0＜5x－4≤1，解得＜x≤1，
5
?4?
求下列函数定义域： lg(4－x) (1)f(x)＝log3(1＋x)；(2)f(x)＝； x－3 (3)f(x)＝log4x. 解：(1)要使函数有意义，应满足1＋x＞0，即x＞－1，故定义域为(－1，＋∞)； ??4－x>0， (2)要使函数有意义，应满足?即x＜4且x≠3，故定义域是{x|x＜4且x≠3}； ?x－3≠0，? (3)要使函数有意义，应满足log4x≥0，即x≥1，故定义域是{x|x≥1}． 若已知函数解析式求定义域，常规为分母不能为零，0的零次幂与负指数次幂无意义，偶次方根被开方式(数)非负，求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 二、对数函数的图象问题 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间： (1)y＝log3(x－2)；(2)y?|log1x|. 2思路分析：对于(1)可利用图象的平移获得y＝log3(x－2)的图象；对于(2)，可先将函数化为分段函数，然后再画图象． 解：(1)函数y＝log3(x－2)的图象如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R，在区间(2，＋∞)上是递增函数． 第2页 0?x?1，?log1x，?2(2)y?|log1x|??其图象如图②. 2??log2x，x?1，其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是递减函数，在(1，＋∞)上是递增 函数． 画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间． 解：函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图． 由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 1．函数f(x)＝|logax|(a＞0且a≠1)是一个与对数函数有关的函数，其定义域是(0，＋∞)，值域是[0，＋∞)，不论a＞1还是0＜a＜1，f(x)都在(0,1)上是递减函数，在(1，＋∞)上是递增函数，并且f(x)＝|logax|与函数y?|log1x|是同一个函数，这是因为|log1x|＝|－logax|＝ aa|logax|. 2．画函数图象时，要注意图象的特殊点、特殊线的作用，还要注意函数的奇偶性(图象的对称性)及单调性的应用． 三、对数函数单调性的应用 比较下列各题中两个值的大小： (1)ln 2，ln 0.9； (2)loga5.1，loga5.9(a＞0，a≠1)； (3)log67，log76； (4)log3π，log20.8. 思路分析：(1)(2)中所给两数的底数相同，可直接利用函数的单调性，并注意(2)中底数a的讨论；(3)(4)中要领会1的变形logaa,0的变形loga1. 解：(1)考察函数y＝ln x，因为底数为常数e(e＞1)，所以该函数在(0，＋∞)上是递增函数，又2＞0.9，所以ln 2＞ln 0.9. (2)当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是递减函数，因为5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9. 当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是递增函数，因为5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9. (3)因为log67＞log66＝1，log76＜log77＝1， 所以log67＞log76. (4)因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0， 所以log3π＞log20.8. 第3页 1．比较下列各组数中两个值的大小： (1)log0.31.8，log0.32.7；(2)3log45,2log23；(3)log32，log56；(4)log10.4，log40.6. 3解：(1)∵函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上是递减函数， 且1.8＜2.7， ∴log0.31.8＞log0.32.7. (2)3log45＝log4125,2log23＝4log43＝log481. ∵函数y＝log4x在(0，＋∞)上是递增函数，且125＞81， ∴log4125＞log481， 即3log45＞2log23. (3)∵log32＜log33＝1，log56＞log55＝1，故log32＜log56. (4)∵log10.4?log11?0，log40.6＜log41＝0，故log10.4＞log40.6. 3332．若log1m?log1n，则m与n的大小关系是__________． 33答案：m＞n 解析：由于f(x)?log1x是递减函数，所以当f(m)＜f(n)时，应有m＞n. 3比较对数值大小的常用方法： (1)底数相同时，直接利用对数函数的单调性比大小； (2)底数不同时，借助“中间量(常用0和1)”间接比大小； (3)当要比较大小的数较多时，可利用对数函数图象的位置关系来比大小． 四、对数函数的综合问题 2＋x 已知函数f(x)＝log3，x∈(－2,2)． 2－x (1)判断f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)在(0,2)上单调递增． 思路分析：分别利用函数奇偶性与单调性的定义进行判断与证明． 2＋(－x)2－x 解：(1)∵f(－x)＝log3＝log3 2－(－x)2＋x ?2＋x?－1＝－log2＋x＝－f(x)， ＝log3??3 2－x?2－x? 故f(x)是奇函数； 2＋x＋h2＋x (2)当0＜x＜2时，f(x＋h)－f(x)＝log3－log3 2－x－h2－x 2＋x??2＋x＋h÷＝log3?? ?2－x－h2－x?(2＋x＋h)(2－x)4－x2＋2h－hx＝log3＝log3 (2－x－h)(2＋x)4－x2－2h－hx 4h ＝log3?1＋(2－x－h)(2＋x)?， ??由于h＞0，x∈(－2,2)， 4h ∴＞0， (2－x－h)(2＋x) 第4页 4h 故log3?1＋(2－x－h)(2＋x)?＞0， ?? 即f(x＋h)＞f(x)， 因此f(x)在(0,2)上单调递增． 1．判断函数f(x)＝lg(x2＋1＋x)的奇偶性． 解：∵x2＋1＋x＞0，∴x∈R. 又f(－x)＝lg(x2＋1－x) (x2＋1－x)(x2＋1＋x)＝lg x2＋1＋x1 ＝lg2 x＋1＋x ＝－lg(x2＋1＋x) ＝－f(x)， ∴函数f(x)是奇函数． 2．利用函数的单调性定义证明函数f(x)＝lg(x－1)在定义域上是递增函数． 证明：f(x＋h)－f(x)＝lg(x＋h－1)－lg(x－1) hx＋h－1 ＝lg＝lg?1＋x－1?， ??x－1 hh ∵x＞1，h＞0，∴＞0,1＋＞1. x－1x－1 h ∴lg?1＋x－1?＞0， ??即f(x＋h)＞f(x)， 故f(x)在定义域上是递增函数． 1．判断与对数函数有关的函数的奇偶性时，一方面要利用定义，另一方面要注意对数运算法则logaNn＝nlogaN的应用． 2．用定义证明与对数函数有关函数的增减性时，往往要用到对数值的取值规律：logab＞0?a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1；logab＜0?a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1. 1．函数y＝log2(2－x)的定义域为( )． A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．(－∞，2] 答案：B 解析：由2－x＞0得x＜2，所以定义域是(－∞，2)．故选B． 2．函数y＝ax与y＝－logax(a＞0且a≠1)在同一坐标系中的图象形状只能是( )． 答案：A 解析：分a＞1与0＜a＜1两种情况考虑，两函数单调性应该相反． 1 3．已知0＜a＜1，x＝loga2＋loga3，y＝loga5，z＝loga21－loga3，则( )． 2 A．x＞y＞z B．z＞y＞x 第5页 C．y＞x＞z D．z＞x＞y 答案：C 解析：x＝loga6，y＝loga5，z＝loga7， ∵0＜a＜1，∴y＞x＞z. 4．函数f(x)＝1＋loga(2－x)(a＞0且a≠1)的图象恒过定点__________． 答案：(1,1) 解析：当2－x＝1即x＝1时，y＝1，故恒过定点(1,1)． 1＋x11 －?＝2，则f??＝__________. 5．已知f(x)＝loga(a＞0且a≠1)，若f??3??3?1－x 答案：－2 1－x?1＋x?－1＝－log1＋x＝－f(x)， 解析：f(x)的定义域为(－1,1)，由于f(－x)＝loga＝loga? ?a 1＋x1－x?1－x? 1??－1?＝－2. 故f(x)是奇函数，因此f?＝－f?3??3? 第6页