北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试 数学（理）试题 2013.1
一、选择题：
1. 复数
21?i化简的结果为
A.1?i B.?1?i C. 1?i D.?1?i 2.已知直线l:??x?2?t,?y??2?t（t为参数）与圆C:??x?2cos??1,?y?2sin?（?为参数），则直线l的倾斜角及圆心C的直
角坐标分别是 A.
π4,(1,0) B.
π4,(?1,0) C.
3π413,(1,0) D.
3π4开始 ,(?1,0)
输入p n?1，S?0 S?p 3.向量a?(3,4),b?(x,2), 若a?b?|a|,则实数x的值为 A.?1 B.?12 C.? D.1
否 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p为24，则输出 的n,S的值分别为
A.n?4,S?30 B.n?5,S?30 C.n?4,S?45 D.n?5,S?45
5.如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A,B两点， 弦CD垂直AB于E. 则下面结论中，错误的结论是 ．．Ａ.?BEC∽?DEA B.?ACE??ACP
C.DE2?OE?EP D.PC2?PA?AB
*是 S=S+3n输出n，S 结束 n?n?1 CPBOEDA6.数列?an?满足a1?1,an?1?r?an?r（n?N,r?R且r?0），则“r?1”是“数列?an?成等差数列”的
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 A. 144 B.120 C. 108 D.72 8. 椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得?F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是
A.(,) B.(,1) C. (,1) D.(,)?(,1)
33233221212111二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 以y??x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.
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10.数列{an}满足a1?2,且对任意的m,n?N*，都有11. 在(1x26an?mam?an，则a3?_____;{an}的前n项和Sn?_____.
?3x)的展开式中，常数项为______.(用数字作答)
12. 三棱锥D?ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为_________.
?x?0,?13. 点P(x,y)在不等式组 ?x?y?3,表示的平面区域内，
?y?x?1?AD4C__.若点P(x,y)到直线y?kx?1的最大距离为22，则k?_
B2主视图223左视图14. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方
ABCD?A1B1C1D1表面上运动，且PA?r体
1（0?r?3），记点P的轨迹的长度为f(r)，则f()?____;关于
2r的方程f(r)?k的解的个数可以为_.（填上所有可能的值）.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数f(x)?3sinx2cosx2?cos2x2?12，?ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
（I）求f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若f(B?C)?1,a?16.（本小题满分13分）
汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:
A型车
出租天数 1 车辆数 5 2 3 4 5 6 10 30 35 15 3 B型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5
（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率； （Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由. 17. （本小题满分14分）
A1C13,b?1，求角C的大小.
7 2 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90?，AB?AC?AA1?2,E是
- - - 2 -
B1AECB
BC中点.
（I）求证：A1B//平面AEC1；
（II）若棱AA1上存在一点M，满足B1M?C1E，求AM的长； （Ⅲ）求平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值. 18. （本小题满分13分） 已知函数f(x)?. x?1（I） 当a?1时,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程；
eax（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间. 19. （本小题满分14分）
已知E?2,2?是抛物线C:y2?2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点（不同于点，直线EA,EB分别交直线x??2于点M,N. E）
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：?MON为定值. 20. （本小题满分13分）
已知函数f(x)的定义域为(0,??)，若y?若y?f(x)x2f(x)x在(0,??)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”；
在(0,??)上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”.
我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为?1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为?2.
32(Ⅰ)已知函数f(x)?x?2hx?hx，若f(x)??1,且f(x)??2，求实数h的取值范围；
(Ⅱ)已知0?a?b?c，f(x)??1且f(x)的部分函数值由下表给出，
x a d b d c a?b?c 4 f(x) t 求证：d(2d?t?4)?0；
(Ⅲ)定义集合???f(x)|f(x)??2,且存在常数k,使得任取x?(0,??),f(x)?k?,
请问：是否存在常数M，使得?f(x)??，?x?(0,??)，有f(x)?M成立？若存在，求出
M的最小值；若不存在，说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习
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数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 C 8 D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
12．42 三、解答题(本大80分)
15．（本小题满分13分） 解：（I）因为f(x)?3sinx2cosx2?cos29．x2?y2?4 10．8; 2n?1?2 11.13534 13．?1 14．π; 0,2,3,4 题共6小题,共
x2?12
3coxs?11?sinx?? 222??sin(x?π632sinx?12coxs) ???6分
又y?sinx的单调递增区间为（2kπ?π2,2kπ?π2） ，(k?Z)
所以令2kπ?π2?x?π6?2kπ?π2 解得2kπ?2π3?x?2kπ?π3
所以函数f(x)的单调增区间为(2kπ?2π3π6,2kπ?π3) ，(k?Z) ??????8分
π6π7π,) 66 (Ⅱ) 因为f(B?C)?1,所以sin(B?C?所以B?C?由正弦定理
π6?π2,B?C?π3)?1，又B?C?(0,π)，B?C?2π3?(，所以A? ??10分
12sinBb?sinAa 把a?π63,b?1代入，得到sinB?π6 ????12分
又b?a,B?A，所以B?
16.（本小题满分13分）
，所以C? ????13分
解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为
- - - 4 -
出租天数为3天的A型车辆数出租天数为3天的A,B型车辆数总和?3030?20?0.6
这辆汽车是A型车的概率为0.6 ????3分
（II）设“事件Ai表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i天”，
“事件Bj表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i,j?1,2,3,...,7 则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
P(A1B3?A2B2?A3B1)?P(A1B3)?P(A2B2)?P(A3B1) ??????5分
?P(A1)P(B3)?P(A2)P(B2)?P(A3)P(B1) ??????7分
?
??100912552010203014????100100100100
100 该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
9125 ??????9分
（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为
X P 1 0.05 2 0.10 3 0.30 4 0.35 5 0.15 6 0.03 7 0.02
设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为
Y P 1 0.14 2 0.20 3 4 0.16 5 0.15 6 0.10 7 0.05 0.20 E(X)?1?0.05?2?0.10?3?0.30?4?0.35?5?0.15?6?0.03?7?0.02 =3.62
E(Y)?1?0.14?2?0.20?3?0.20?4?0.16?5?0.15?6?0.10?7?0.05
=3.48
??????12分
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理 . ??????13分
17.（本小题满分14分）
(I) 连接A1C交AC1于点O，连接EO
因为ACC1A1为正方形，所以O为A1C中点，又E为CB中点，所以EO为?A1BC的中位线，
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