所以EO//A1B ??????2分
又EO?平面AEC1，A1B?平面AEC1 所以A1B//平面AEC1
?4分
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系 所以A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0),
?????????? 设M(0,0,m)(0?m?2)，所以B1M?(?2,0,m?2),C1E?(1,?1,?2)，
?????????? 因为B1M?C1E，所以 B1M?C1E?0，解得m?1，所以AM?1 ??????8分
（Ⅲ）因为AE?(1,1,0),AC1?(0,2,2)，
?AEC 设平面1的法向量为n?(x,y,z)，
????????????????x?y?0?AE?n?0?? 则有?????，得?，
y?z?0???AC1?n?0?x?1,z?1y??1, 令则，所以可以取n?(1,?1,1)， ???10分
????ABBAABBA 因为AC?平面11,取平面11的法向量为 AC?(0,2,0) ???11分
??????????AC?n3 所以cos?AC,n????????? ??????13分
3|AC||n| 平面AEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为18. （本小题满分13分） 解：当a?1时，f(x)?eax33 ??????14分
x?1，f'(x)?e(x?2)(x?1)2x ??????2分
又f(0)??1，f'(0)??2，所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y??2x?1 ???4分
e[ax?(a?1)](x?1)2ax（II）f'(x)? 当a?0时，f'(x)??1(x?1)2?0 又函数的定义域为{x|x?1}
所以 f(x)的单调递减区间为(??,1),(1,??) ???6分
a?1a当 a?0时，令f'(x)?0，即ax?(a?1)?0，解得x? ??????7分
当a?0时，x?a?1a?1，
所以f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
- - - 6 -
x (??,1) 1 (1,a?1a? ) a?1a (a?1a,??) f'(x) f(x) ? 无定义 a?1a0 极小值 a?1a? ? ? ? 所以f(x)的单调递减区间为(??,1)，(1,)， 单调递增区间为(,??) ??10分
当a?0时，x?a?1a?1
所以f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (??,a?1a? ) a?1a (a?1a,1) 1 (a?1a,??) f'(x) f(x) 0 极大值 ? 无定义 ? ? a?1a? a?1a? 所以f(x)的单调递增区间为(??, 19. （本小题满分14分）
)，单调递减区间为(,1)，(1,??) ???13分
122解：（Ⅰ）将E?2,2?代入y?2px，得p?1 所以抛物线方程为y?2x，焦点坐标为(,0)?3分
2y122（Ⅱ）设A(法一：
,y1)，B(y222,y2)，M(xM,yM),N(xN,yN)，
因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率 设直线l方程为y?k(x?2)
?y?k(x?2)2与抛物线方程联立得到 ?2，消去x，得：ky?2y?4k?0
?y?2x则由韦达定理得：y1y2??4,y1?y2?直线AE的方程为：y?2?y1?2y212k ?6分
2y1?2?x?2?，即y??x?2??2，
2?2
- 7 -
令x??2，得yM?2y1?4y1?2 ????9分
同理可得：yN?2y2?4y2?2 ?10分
???????????????????42y1?42y2?4又 OM?(?2,ym),ON?(?2, )，所以OM?ON?4?yMyN?4??ymy1?2y2?2?y4(?4?4 ?4?4[y1y2?2(y12)?4] k?4) [y ?0 ?13分1y2?2(y1?y?4?2)?4]4(?4?4k?4)所以OM?ON，即?MON为定值π2 ????14分
法二：
设直线l方程为x?my?2?x?my?2 与抛物线方程联立得到 ?2，消去x，得：
?y?2xy2?2my?4?0 则由韦达定理得：
y1y2??4,y1?y2?2m ??6分
直线AE的方程为：y?2?y1?2y2?x?2?，即y?21y?x?2??2，
1?22?2令x??2，得y2y1?4M?y ??????9分
1?2同理可得：y2y2?4N?y ?10分
2?2 ?????????又 OM?(?2,y?4?????????m),ON?(?2,y)，OM?ON?4?y4(y1?2)(y2?2)MyN?4?m(y1?2)(y2?2) ?4?4[y1y2?2(y1?y2?)4]4(?4?2m?4)[y1y2?2(y?y? 2)4? ?0 1]4?4(?4?2m?4)所以OM?ON，即?MON为定值
π2 ??????13分
20. （本小题满分14分）
解：（I）因为f(x)??1,且f(x)??2， 即g(x)?f(x)x?x2?2hx?h在(0,??)是增函数，所以h?0 ??????1分
- - 8 -
- 12分 ??
而h(x)?f(x)x2?x?hx?2h在(0,??)不是增函数，而h'(x)?1?hx2
当h(x)是增函数时，有h?0，所以当h(x)不是增函数时，h?0 综上，得h?0 ?4分
(Ⅱ) 因为f(x)??1，且0?a?b?c?a?b?c 所以
4aa?b?c4ba?b?cf(a)a?f(a?b?c)a?b?c4ca?b?c=4a?b?c，
所以f(a)?d?，同理可证f(b)?d?，f(c)?t?
三式相加得f(a)?f(b)?f(c)?2d?t?4(a?b?c)a?b?c?4,所以2d?t?4?0 ??6分
因为
da?db,所以d(b?a)?0,而0?a?b， 所以d?0 所以d(2d?t?4)?0 ??8分 ab(Ⅲ) 因为集合???f(x)|f(x)??2,且存在常数k,使得任取x?(0,??),f(x)?k?, 所以?f(x)??，存在常数k，使得 f(x)?k 对x?(0,??)成立
我们先证明f(x)?0对x?(0,??)成立 假设?x0?(0,??),使得f(x0)?0， 记因为f(x)是二阶比增函数，即
f(x)x2f(x0)x02?m?0
是增函数. 所以当x?x0时，
f(x)x2?f(x0)x02?m，所以f(x)?mx2
所以一定可以找到一个x1?x0，使得f(x1)?mx12?k 这与f(x)?k 对x?(0,??)成立矛盾??11分
f(x)?0对x?(0,??)成立 所以?f(x)??，f(x)?0对x?(0,??)成立
下面我们证明f(x)?0在(0,??)上无解
假设存在x2?0，使得f(x2)?0，则因为f(x)是二阶增函数，即一定存在x3?x2?0，
f(x3)x32f(x)x2是增函数
?f(x2)x22?0，这与上面证明的结果矛盾
所以f(x)?0在(0,??)上无解 综上，我们得到?f(x)??，f(x)?0对x?(0,??)成立 所以存在常数M?0，使得?f(x)??，?x?(0,??)，有f(x)?M成立
又令
又有
f(x)??f(x)x21x(x?0)，则f(x)?0对x?(0,??)成立，
??1x3在(0,??)上是增函数 ，所以f(x)??，
而任取常数k?0，总可以找到一个x0?0，使得x?x0时，有f(x)?k 所以M的最小值 为0 ??13分
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