(2.4.1)
其中，表示以8为循环周期，当i=8时，i+l=9,就取 = p(1)；(二值化后黑点用“1”表示，白点用“0\表示)；
(3)统计该邻域内黑点的数目，如果Delta=2且 ≥4则该点去掉， 即置白，否则保留；
(4)一幅图像未完，则跳到第(1)步，否则到第(5)步；
(5)如果整个图像没有一个点被去掉，则结束；否则对新图像从第(1)步再开 始处理[8]。
图2.4.2是两幅对比图像，(a)为改进前的结果，(b)为改进后的结果。
指纹图像的细化后处理:
图2.4.2 (a)未加细化改进 (b)细化后改进
对二值化图像进行改进细化处理后，使细化后的脊线宽度真正成为了1。由于原始图像质量较差，往往会有一些假特征点在细化后出现。如图2．4.3所示，
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图2.4.3 (a) 原始指纹图像 (b) 细化后的指纹图像
这些假细节点多为极短的脊线、脊线上短短的突起(外形上像短刺)和小圈(外形上像气泡)，它们分别可能被误作为端点和分叉点。后处理就是要尽量除这些假细节点，使指纹脊线光滑，并且不失真。后处理就主要分为三部分：消除短脊、消除短刺和消除气泡。
要消除这两种干扰信息，先要弄清如何判断特征点。这里将端点和分叉点作为主要的便于识别的特征点。将上面的式(2．1)
；
重写在这里，3*3邻域取法也如上面所述。当Delta=2时，点(x，y)为端点；当Delta=6时，点(x，y)为分叉点。
短脊的特点是，它的两端都可以被判别为端点，且距离十分短。短刺有这样一些特点，它的一端可以被判别为端点，另一端可以被判别为分叉点，同时，这两个点的距离十分短。气泡的特点，它的两端都可以被判为分叉点，距离也很短。有了这样的特点就可以对他们分别进行消除。短脊和短刺可以在同一过程中消除。
消除短脊和短刺方法[15]：
(1)依次选取细化图像脊线上的点(x，y)；
(2)计算Delta。如果Delta=2，则选取点(x，y)的一定邻域，在该邻域中寻找端点或者分叉点，也就是寻找Delta=2或Delta=6的点。如果该邻域中除了点(x，y)外没有其它端点或者分叉点，则(x，”保留(继续为黑)，否则去掉(置白)。
(3)重复第(1)，(2)步直到完成对一幅图像的处理；
(4)如果在上面几步中有像素点被消除，则对新图像重复上面步骤，否则结束处理。
以上方法可以很好的消除短脊和短刺(它们也可以分开进行)。
消除气泡的方法和上面的方法，有所不同，它要对检查出的气泡进行填充，对填充后的图像再进行细化操作，这样就消除了气泡。该过程要对不同大小的邻域重复进行，直到没有气泡被检出。
具体步骤如下：
(1)依次选取细化图像脊线上的点(x，y)；
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(2)计算Delta。如果Delta=6，则选取点(x，y)的一定邻域，在该邻域中寻找分叉点，也就是寻找Delta=6的点。如果该邻域中除了点(x，y)外没有其它分叉点，则跳到第(1)步，否则进行下一步；
(3)如果在上一步中找到了另一个分叉点，则将两个分叉点之间的一定区域全部置黑；
(4)重复第(1)，(2)，(3)步直到完成对一幅图像的处理； (5)对局部置黑后的新图像再进行细化；
(6)如果在上面几步中有区域被置黑，则对新图像重复上面步骤，否则进行 下一步；
(7)扩大邻域范围，重复上面步骤，直到邻域范围达到设定的最大值。 以上方法对消除气泡效果很好。
2.5基于小波变换的数字图像处理在指纹图像特征识别中的算法
图像识别属于模式识别的范畴，其主要内容是在图像经过某些预处理(增强、二值化、细化)后，进行图像特征值提取，从而进行判别分类。
首先对小波理论和具体公式进行介绍： 2.5.1 小波理论分析
小波实际上是那些满足一定数学要求并能用之描述(或逼近)其他函数或信号的一些函数。小波分析过程就是采用小波原形函数,或称为母波。分析小波对信号进行分析,它是一种信号的时间一尺度(时间一频率)分析方法,具有多分辨率分析(MultiresolutionAnalysis)的特点,即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。
1 . 1 连续小波变换[16]
所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的,基本小波是一个具有特殊性质的实值函数,它是振荡衰减的, 而且通常衰减得很快,在数学上满足积分为零的条件,二维连续小波基函数定义如式(2.5.1)所示,其变换和逆变换如式(2.5.2)和式(2.5.3)所示。
2.5.1)
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(2.5.2)
(2.5.3)
1.2 离散小波变换[17]
在数值计算中,尤其是在计算机上实现时,连续小波必须加以离散化。因此,有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。整个小波级数展开公式如式(2.5.4)所示。
2.5.4)
二维离散小波变换是横向、纵向两个一维小波变换合成的结果, 它需要一个二维 尺 度 函 数和 三 个 二 维 小 波,, 。每一个都是一维尺度函数j 和y 相应的小波函数的乘积。排除产生一维结果的乘积, 如 ,4个留下的乘积产生可分离尺度函数。如式(2.5.5)所示。
(2.5.5) (2.5.6)
另外也可产生分离的“方向敏感的”小波,如式(2.5.6),式(2.5.7),式(2.5.8)所示。
(2.5.7) (2.5.8)
从一幅 的图像 f ( x, y) 开始,其中上标指示尺度并且N 是2 的幂。对于m =0 ,尺度 ,也就是原图像的尺度。m 的值每一次增大都使尺度加倍,而使分辨率减半。在变换的每一层次,图像都被分解为4个四分之一大小的图像(尺度 的低频部分和三个方向:水平、垂直、对角的高频部分) ,它们都是由原图与一个小波基图像的内积后,再经过在行和列方向进行2倍的间隔抽样而生成。4个图像分别反映了低频,垂直,水平和对角线信息。对于第一个层次( m =1 ) ,可写成式(2.5. 9 ) ,式( 2.5.10 ) ,式(2.5.11),式(2.5.12)。
(2.5.9) (2.5.10) (2.5.11) (2.5.12)
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接下来介绍了小波公式在指纹识别中的具体应用： 2.5.2 二维小波变换在指纹特征提取中的应用
小波变换是一种常用的图像分析手段,并且在纹理识别中有较多的应用。由于指纹纹理结构是二维的,所以使用二维小波变换做纹理分析非常适合。二维小波变换实质上是分别进行横向,纵向,以及对角的一维小波变换。对一幅图像进行完全的小波分解得到一系列的小波系数,小波系数的形状和尺寸与原始图像相同。例如一幅16×16的图像经过三层小波分解,可以得到10块小波分解结果,一共256个系数。我们把这些小波分解系数构成的子图像称为小波分解通道。一共有四种通道,LL,LH,HL,HH。每个通道表征了原始图像不同空间频率和方向下的信息。LL通道代表图像在水平低频和垂直低频下的信息,LH通道代表了图像在水平低频和垂直高频下的信息,HL通道代表了图像在水平高频和垂直低频下的信息,HH通道代表了图像在水平高频和垂直高频下的信息, 对指纹图像进行3 次二维小波变换分解示意图如图2.5.1所示。
图2.5.1 二维小波对指纹图像的三次分解
在用二维小波变换提取指纹特征时,其提取特征的效果与选用的小波基有关。而小波基是滤波器的类型决定的。在考虑系统实时性的同时选用合适的小波基进行二维小波变换,可以较好的提高指纹识别的速度和准确率。（如图2.5.1图2.5.2）
图2.5.2 指纹图像的中心区域
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