高考数学压轴题（函数与导数专题二）
题型(二) 图像的交点个数与根的分布问题（10题）
1．（本小题满分14分）已知函数f(x)?ln(x?a)?x2?x在x?0处取得极值． （I）求实数a的值；
（II）若关于x的方程f(x)??5x?b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；2n?1n?1?2都成立． nn来源学科网ZXXK]
（III）证明：对任意正整数n，不等式ln解：（I）f?(x)?1?2x?1,……2分 ?x?0时，f(x)取得极值， x?a1?2?0?1?0，解得a=1，0?a2?f?(0)?0,………3分 故
来源学*科*网Z*X*X*K]经检验a=1符合题意． ……4分
（II）由a=1知f(x)?ln(x?1)?x?x,由f(x)??5x?b, 2得ln(x?1)?x?233x?b?0,令?(x)?ln(x?1)?x2?x?b, 22则f(x)??5x?b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于 2来源学?(x)?0在[0，2]上恰有两个不同的实数根．------------ 5分
??(x)?13?(4x?5)(x?1)?2x??,……………6分 x?122(x?1)当x?(0,1)时,??(x)?0,于是?(x)在(0,1)上单调递增
当x?(1,2)时,??(x)?0,于是?(x)在(1,2)上单调递减．
来源:Z+xx+k.Com??(0)??b?0,?3?依题意有??(1)?ln(1?1)?1??b?0,
2????(2)?ln(1?2)?4?3?b?0,1?ln3?1?b?ln2?.…………………9分
2（III）f(x)?ln(x?1)?x?x的定义域为{x|x??1},……………10分 由（1）知f?(x)?2?x(2x?3),………………………………………11分
x?13（舍去），?当?1?x?0时,f?(x)?0,f(x)单调递增； 2令f?(x)?0得,x?0或x??当x>0时，f?(x)?0,f(x)单调递减．?f(0)为f(x)在(?1,??)上的最大值．（12分）
?f(x)?f(0),故ln(x?1)?x2?x?0（当且仅当x=0时，等号成立）………13分
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对任意正整数n，取x?1111n?1n?1?0得，ln(?1)??2,故ln?2. -----14分 nnnnnn2. 设函数f(x)?x?a(x?1)ln(x?1),(x??1,a?0) （Ⅰ）求f(x)的单调区间；[来源
（Ⅱ）当a?1时，若方程f(x)?t在[?1,1]上有两个实数解，求实数t的取值范围； 2（Ⅲ）证明：当m>n>0时，(1?m)n?(1?n)m。[来源:学§科§网] 解：（Ⅰ）f(x)?1?aln(x?1)?a
/①a?0时，f(x)?0∴f(x)在（—1，+?）上市增函数
/②当a?0时，f(x)在(?1,e1?aa?1]上递增，在[e1?aa?1,??)单调递减
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减 2又f(0)?0,f(1)?1?ln4,f(?)??12111?ln2∴f(1)?f(?)?0 222∴当t?[?11,?ln2,0)时，方程f(x)?t有两解 22ln(1?m)ln(1?n)? mn（Ⅲ）要证：(1?m)n?(1?n)m只需证nln(1?m)?mln(1?n), 只需证
x?ln(1?x)ln(1?x)x?ln(1?x)/1?x,(x?0)，则g(x)??设g(x)? x2x2(1?x)x由（Ⅰ）知x?(1?x)ln(1?x)??在(0,??)单调递减 ∴x?(1?x)ln(1?x)?0，即g(x)是减函数，而m>n ∴g(m)?g(n)，故原不等式成立
23. 已知x?3是函数f(x)?aln(1?x)?x?10x的一个极值点． ⑴ 求a； ⑵ 求函数f(x)的单调区间；
⑶ 若直线y?b与函数y?f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围．
2解：⑴ f(x)?aln(1?x)?x?10x，f'(x)?a?2x?10 1?xx?3是函数
f(x)?aln(1?x)?x2?10x的一个极值点 f'(3)??4?0，a?16
2a42162x?8x?62(x?1)(x?3)⑵由⑴f(x)?16ln(1?x)?x?10x，x?(?1,??)f'(x)? ?2x?10??1?xx?1x?1令f'(x)?0，得x?1，x?3，f'(x)和f(x)随x的变化情况如下：
(?1,1) 1 (1,3) 3 x f'(x) (3,??) ? 0 ? 0 ? 极大值 减 f(x)的增区间是(?1,1)，(3,??)；减区间是(1,3)．
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f(x) 增 极小值 增 ⑶ 由②知，
f(x)在(?1,1)上单调递增，在(3,??)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
∴f(x)极大?f(1)?16ln2?9，f(x)极小?f(3)?32ln2?21．
又x??1?时，f(x)???；x???时，f(x)???；可据此画出函数y?f(x)的草图（图略），由图可知， 当直线y?b与函数y?f(x)的图像有3个交点时，b的取值范围为(32ln2?21,16ln2?9)．
24. 已知函数f(x)??x?8x,g(x)?6lnx?m.
⑴求f(x)在区间?t,t?1?上的最大值h(t);
⑵是否存在实数m,使得y?f(x)的图像与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 解：⑴f(x)??x2?8x??(x?4)2?16.
当t?1?4,即t?3时，f(x)在?t,t?1?上单调递增，
h(t)?f(t?1)??(t?1)2?8(t?1)??t2?6t?7;
当t?4?t?1,即3?t?4时，h(t)?f(4)?16;
ft(x?)在t,7,t??3,当t?4时，上单调递减，h(t)?f(t)??t2?8t. ??6t??t1?3?t?4, 综上h(t)??16, ???t2?8t, t?4⑵ 函数y??f(x)的图像与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数
?(x)?g(x)?f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?(x)?x2?8x?6lnx?m, 62x2?8x?62(x?1)(x?3)??'(x)?2x?8???(x?0),xxx当x?(0,1)时，?'(x)?0,?(x)是增函数； 当x?(0,3)时，?'(x)?0,?(x)是减函数； 当x?(3,??)时，?'(x)?0,?(x)是增函数；
当x?1,或x?3时，?'(x)?0. ??(x)最大值??(1)?m?7,?(x)最小值??(3)?m?6ln3?15. 当x充分接近0时，?(x)?0,当x充分大时，?(x)?0.
?要使?(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
???(x)最大值?m?7?0, 即7?m?15?6ln3. ??(x)?m?6ln3?15?0,?最小值?∴存在实数m，使得函数y?f(x)与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点，m的取值范围为
(7,15?6ln3).
5. 已知函数f(x)?ln(2?3x)?32x. ⑴求f(x)在[0,1]上的极值； 2⑵若对任意x?[,],不等式|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0成立，求实数a的取值范围； ⑶若关于x的方程f(x)??2x?b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
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11635.解：⑴f?(x)?3?3(x?1)(3x?1)1?3x?，令f?(x)?0得x?或x??1（舍去）
2?3x3x?23
11?当0?x?时,f?(x)?0,f(x)单调递增；当?x?1时,f?(x)?0,f(x)递减.
3311?f()?ln3?为函数f(x)在[0,1]上的极大值.
36⑵ 由|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0 得 a?lnx?ln[来源:Z_xx_k.Com]
33或a?lnx?ln2?3x2?3x
33x32x?3x2g(x)?lnx?ln?ln设h(x)?lnx?ln，， ?ln2?3x2?3x2?3x3依题意知a?h(x)或a?g(x)在x?[,]上恒成立，
1163?g?(x)?2?3x3(2?3x)?3x?32312?6x???0?h(x)??(2?6x)??0， ，223xx(2?3x)(2?3x)22x?3x32x?3x11?g(x)与h(x)都在[,]上单增，要使不等式①成立，
63 当且仅当a?h()或a?g(),即a?ln或a?ln.
13161315 ⑶ 由f(x)??2x?b?ln(2?3x)?32x?2x?b?0. 23237?9x2令?(x)?ln(2?3x)?x?2x?b,则??(x)?， ?3x?2?22?3x2?3x当x?[0,77]时,??(x)?0,于是?(x)在[0,]上递增； 33
x?[77,1]时,??(x)?0,于是?(x)在[,1]上递减， 3377)??(0),?()??(1)， 33而?(?f(x)??2x?b即?(x)?0在[0,1]恰有两个不同实根等价于
???(0)?ln2?b?0?7727??()?ln(2?7)???b?0 ?ln5?1?b?ln(2?7)?7?27. ?66263?31??(1)?ln5??b?0?2?
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6. 已知函数f(x)?(x3?3x2?ax?b)e?x ⑴ 如a?b??3，求f(x)的单调区间；
⑵ 若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明：???＜6.解：⑴ a?b??3时，f(x)?(x3?3x2?3x?3)e?x，故
w.w.w.zxx.c.o.m w.w.w.zxx.c.o.m f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x??x(x?3)(x?3)e?x当x??3或0?x?3时，f'(x)?0;当?3?x?0或x?3时，f'(x)?0.
w.w.w.zxx.c.o.m
0），（3，??）从而 f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加，在（?3，单调减少.
⑵ f'(x)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a].
由条件得f'(2)?0,即23?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a, 从而f'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a]. 因为f'(?)?f'(?)?0, 所以x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)?(x?2)[x2?(???)x???]. 将右边展开，与左边比较系数得，?????2,???a?2.故????(???)2?4???12?4a.
w.w 又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0. 由此可得a??6.于是????6.7. 已知函数f(x)?x3?x． （1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程； （2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)． 解：（1）f?(x)?3x2?1．y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y?f(t)?f?(t)(x?t)， 即y?(3t2?1)x?2t3．
（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b?(3t2?1)a?2t3． 若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线， 则方程
2t3?3at2?a?b?0有三个相异的实数根．
记 g(t)?2t3?3at2?a?b，则g?(t)?6t2?6at?6t(t?a)． 当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：
t g?(t) g(t) (??，0) 0 0 (0，a) a 0 (a，??) ? ? ? 极大值a?b 极小值b?f(a) 如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，
?a?b?0，g(t)?0即有三个相异的实数根，则?即 ?a?b?f(a)．
?b?f(a)?0.8. 已知函数f(x)?x，函数g(x)??f(x)?sinx是区间[-1，1]上的减函数. （I）求?的最大值； （II）若g(x)?t2??t?1在x?[?1,1]上恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x的方程
lnx?x2?2ex?m的根的个数． f(x)解：（I）f(x)?x,?g(x)??x?sinx， ?g(x)在[?1,1]上单调递减， ?g'(x)???cosx?0
????cosx在[-1，1]上恒成立，????1，故?的最大值为?1.
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