（II）由题意[g(x)]max?g(?1)????sin1,?只需???sin1?t2??t?1,
，恒成立，令h(?)?(t?1)??t2?sin1?1?0(???1)， ?(t?1)??t2?sin?1?0（其中???1）
?t??1?t?1?02?,而t?t?sin1?0恒成立，?t??1 则?，?22??t?1?t?sin1?1?0?t?t?sin1?0（Ⅲ）由
lnxlnxlnx1?lnx??x2?2ex?m. 令f1(x)?,f2(x)?x2?2ex?m,?f1'(x)?, f(x)xxx2[来源当x?(0,e)时,f1'(x)?0,?f1(x)在?0,e?上为增函数； 当x??e,???时，f1'(x)?0,?f1(x)在?e,???为减函数； 当x?e时,[f1(x)]max?f1(e)?1,e[来源学*科*网]而f2(x)?(x?e)2?m?e2,
11?当m?e2?,即m?e2?时,方程无解；
ee当m?e?211,即m?e2?时，方程有一个根； ee11时,m?e2?时，方程有两个根. ee当m?e?29.已知函数f(x)?alnx，g(x)?x2，记F(x)?g(x)?f(x) （Ⅰ）求F(x)的单调区间； （Ⅱ）当a?11时，若x?1，比较：g(x?1)与f()的大小； 2x1a2，问是否存在实数k，使方程g(x)?f(1?x)?k有四个不同实数根？若存在，
22（Ⅲ）若F(x)的极值为
求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）F(x)的定义域为（0，+∞）， 又F(x)?g(x)?f(x)?x2?alnx
2a2x?a ?F?(x)?2x??， 当a?0时，F?(x)>0恒成立∴F(x)在（0，+∞）上单调递增；
xx令F?(x)?0得x?2a 当a?0时，若0?x?22a2a，F?(x)?0 ∴F(x)在（0，）上单调递减； 22若x?
2aF?(x)?02a，， ∴F(x)在（，+∞）上单调递增 故a?0时，F(x)增区间为(0,??)； 22?2a?2a,??当 a?0时，F(x)增区间为?，减区间为（0，）。 ……4分 ??2?2?? 21
1112(x?)2?(a?)2a（Ⅱ）令h(x)?g(x?1)?f()?(x?1)?alnx，则22?0 h?(x)?2(x?1)??xxx所以 h(x)在［1，+∞） 上单调递增，∴h(x)?h(1)?0， ∴g(x?1)?f().
1x
（Ⅲ）由（Ⅰ）知F(x)仅当a?0时，在x＝
2a处取得极值 21tx22aaa2由F(?2ln(1?x2)，令t?x2 得?k?2ln(1?t) )?得＝２，方程g(x)?f(1?x)?k为k?22222
由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根， 令y1?12t,?t?3，得切点坐标（３，2ln4） ?k,y2?2ln(t?1)，当直线y1与曲线y2相切时，?2t?1213(t?3)，其在y轴上截距为2ln4?； 2232 ∴切线方程为y?2ln4?当直线y1在y轴上截距?k?(0,2ln4?)时，y1和y2在y轴右侧有两个不同交点，
所以k的取值范围为（
3?2ln4，0）.（注：也可用导数求解） 210. 已知三次函数f(x)的最高次项系数为a，三个零点分别为 ?1,0,3.
f(x)?2x?7a?0 ⑴ 若方程x有两个相等的实根，求a的值；
a(??,)3内单调递减，求a的取值范围. ⑵若函数?(x)?f(x)?2x在区间
2f(x)?2x?7a?0f(x)?ax(x?1)(x?3)解：10.解：（1）依题意，设∵x有两个相等实根，
2即ax?(2a?2)x?4a?0有两个相等实根，∴??(2a?2)?4a?4a?0， 即
2a?13或a??1。
a(??,)3内单调递减， （2）?(x)?ax?(2a?2)x?3ax在
32a(??,)??(x)?3ax2?2(2a?2)x?3a?0在3恒成立，
?a?0??a?0或?a?a?0或a??1a2a??()?3a()?2(2a?2)()?3a?0?33?3
22