高级中学2014—2015学年第二学期期末测试
高一理科数学
命题人：雷蕾辛彦瑶审题人：高书洪
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-12题，共60分，第Ⅱ卷为13-22题，共90分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（本卷共60分）
一、 选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A=?x|(x?1)(4?x)?0?，集合B=?y|y?2sin3x?，则A?B= ( ) A (-1 , 2
? B ( 2 , 4 ) C ?-2 , -1 ) D
?-2 , 2
?
答案 C
2.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（） A.f(x)?3?x B.f(x)?x2?3xC .f(x)?xD.f(x)??log2x x?1
( )
答案：C
3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．12＋42 C．28 答案 D
4.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是 ( )．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案 B
5.已知a是实数，则函数f(x)?1?asinax的图象不可能是 ( ) ．．．
B．18＋82
D．20＋82
答案：D
6. 已知数列?an?为等比数列，Sn是它的前n项和,若a2?a3?2a1，且a4与2a7的等差中项为
5，则S5? 4 A．35 B．33 C．3l D．29 答案 C
7.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与
( )
A．AC，BD之一垂直 C．AC，BD都不垂直 答案 B
B．AC，BD都垂直 D．AC，BD不一定垂直
?x?02?8.设变量x,y满足?x?y?1，则?x?y?的最大值是（）
?y?1?A 9 B 3 C 2 D 1 答案 A
9.设l为直线，?、?两个不同的平面．下列命题中正确的是 A．若l∥α，l∥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β 答案 B
10. 两圆相交于两点A(1,3)和B(m, n)，且两圆圆心都在直线x?y?2?0上，则m?n的值是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案 D
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是
( )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
( )
B．若l??，l⊥β，则α∥β D．若?⊥β，l∥?，则l⊥β
C．(2x－3)2＋4y2＝1 答案 C
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
12.已知向量a与b的夹角为?，定义a?b为a与b的“向量积”，且a?b是一个向量，它的长度a?b?absin?，若u?(2,0)，u?v?(1,?3)，则u?(u?v)?（）
rrrA.43
答案 D
B.3C.6 D.23
第Ⅱ卷（本卷共计90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
b13.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a，则＝
a____________. 答案：2 14.等差数列?an?的前n项的和为Sn,若a1?24,S17?S10.则Sn取最大值时n的值为_____________. 答案 13或14
15.已知正方体的棱长为a，该正方体的外接球的半径为3，则a=________． 答案 2
16.曲线y?1?4?x2与直线y?k(x?2)?4有两个交点，则实数k的取值范围是_______________.
答案??53?，? ?124?三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 17.（本题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，B
cos 2B，2cos2－1?且m∥n. －3)，n＝?2??(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．
B
2cos2－1?＝－3cos 2B， 解(1)∵m∥n，∴2sin B?2??∴sin 2B＝－3cos 2B，即tan 2B＝－3.
2ππ
又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝ …………5分
33a2＋c2－b2π
(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝，
32ac得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式， 得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
13
S△ABC＝acsin B＝ac≤3(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为3.…10分
2418.（本题满分12分）如图，正四面体S?ABC中，其棱长为2.
（1）求该几何体的体积；
（2）已知M，N分别是棱AB和SC的中点.求直线
BN和直线SM所成的角的余弦值.
解：
（1） 取三角形ABC 的中心O，连接SO， 由正四面体的性质知SO=SM?OM?2226，SO为正四面体的高 3S?ABC?3122 ……6分 V?S?ABC?SO?33
(2) 连接MC，取MC中点E，连接BE，
NE，BN，则NE平行于SB.
则直线BN和直线NE所成的角即为直线BN和直线SM所成的角.
BN=3，NE=7322，BE=EM?MB? 22BN2?NE2?BE22cos?BNE??2BN?NE3 ?该几何体的体积
222，直线和直线所成的角的余弦值为.……12分 3319.（本题满分12分）已知直线l:y=k(x+22)与圆O:x2?y2?4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S.
（1）试将S表示成k的函数S(k)，并求出它的定义域； （2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值. 解：:如图,
(1)直线l议程kx?y?22k?0(k?0), 原点O到l的距离为oc?22k1?k22
8K2弦长AB?2OA?OC?24?
1?K22△ABO面积
42K2(1?K2)1?AB?0,??1?K?1(K?0), S?ABOC?221?K?S(k)?
(2)令
42k2(1?k2)1?k2(?1?k?1且K?0? ……6分
11?t,?t?1,21?k2?S(k)?3442k2(1?k2)1?k231?42?2t2?3t?1?42?2(t?)2?.
48?当t=时,
13213?,k?,k??时, Smax?2 ……12分 24331?k20.（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC?侧面A1ABB1，且