长葛一高2016届高三上学期第一次月考试题
理科数学
一、选择题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
（CUA）?B为（ ）1，2，3，4?，1，2，3?，B??2，4?，（1）已知全集U??0， 集合A??则．
1，2，4? （B）?2，3，4? （C）?0，2，4? （D）?0，2，3，4? （A）?5（2）复数1?（i是虚数单位）的模等于（ ）．
2?i（A）10 （B）10 （C）5 （D）5 （3）下列命题中的假命题是（ ）．
（A）?x?R,lgx?0 （B）?x?R,tanx?0 （C）?x?R,2x?0 （D）?x?R,x2?0
??????（4）已知向量m?(a,?2),n?(1,1?a)，且m//n，则实数a＝（ ）．
（A）－1 （B）2或－1 （C）2 （D）－2
?13?? (5)已知角2?的顶点在原点, 始边与x轴非负半轴重合, 终边过???2,2?,
?? 2???0,2?? 则 tan??( ) A. ?3
B. 3
C.
3 3D. ?3 3?log3x,x?01（6）已知函数f(x)??x，则f(f())=（ ）.
19?2,x?011111（A） （B） （C） （D）
6824主视图（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧
视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的1等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）．
111（A）2 （B）1 （C） （D）
32俯视图(8) 右面的程序框图表示求式子
23×53×113×233×473×953
1侧视图开始 S=1，i =2 是 S = S×i3 i =2 i + 1
输出S 结束 否 的值, 则判断框内可以填的条件为( )
A. i?90? B. i?100? C. i?200? D. i?300? (9) 下列命题中正确的是( )
A. 函数y?sinx,x??0,2??是奇函数
B. 函数y?2sin(????
?2x)在区间?0,?上是单调递增的 6?3?
C. 函数y?2sin(?3?x)?cos(?6?x)(x?R)的最小值是?1
D. 函数y?sin?x?cos?x是最小正周期为2的奇函数
(10) 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内
1位于函数y??x?0?图象下方的区域（阴影部分），从D内随
x机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )
2?ln2ln21?ln21?ln2A. B. C. D.
222212y2（11）已知抛物线y?x与双曲线2?x2?1(a?0)有共同的焦点F，O为坐标
8a原
????????点， P在x轴上方且在双曲线上，则OP?FP的最小值为（ ）． （A）3?23 （B）23?3 （C）?37 （D）
44?kx?1,x?0,(12)已知函数f(x)?? 则下列关于函数y?f?f(x)??1的零点个数的判
?lnx,x?0.断正确的是( )
A. 当k?0时，有3个零点；当k?0时，有2个零点 B. 当k?0时，有4个零点；当k?0时，有1个零点 C. 无论k为何值，均有2个零点 D. 无论k为何值，均有4个零点
二、填空题（将答案填在答题卡的相应位置上，满分20分）
1?1?32??13. 求?3x?x?展开式的x2项的系数是_____________ ??4?x?0,?14. 已知x,y满足条件?x?y?2?0,则z?x?3y的最大值是____________
?2x?y?5?0.?15.已知四面体P?ABC的外接球的球心O在AB上，且PO?平面ABC,
3 2AC?3AB, 若四面体P?ABC的体积为，则该球的体积为_____________
2116.在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB?bcosA?c，
2当tan(A?B)取最大值时，角C的值为 三、解答题（写出必要的解答和证明过程） 17. (本小题满分12分）
已知数列?an?的前n项和为Sn, 满足Sn?n2an?n2(n?1), 且a1?(Ⅰ) 令bn?1. 2n?1Sn, 证明:bn?bn?1?n(n?2)； (Ⅱ) 求?an?的通项公式. n18. (本小题满分12分)
口袋里装有7个大小相同的小球, 其中三个标有数字1, 两个标有数字2, 一个标有数字3, 一个标有数字4.
(Ⅰ) 第一次从口袋里任意取一球, 放回口袋里后第二次再任意取一球, 记第 一次与第二次取到小球上的数字之和为?. 当?为何值时, 其发生的概率最大? 说明理由;
(Ⅱ) 第一次从口袋里任意取一球, 不再放回口袋里, 第二次再任意取一球, 记第一次与第二次取到小球上的数字之和为?. 求?的分布列和数学期望. 19. (本小题满分12分)如图，
P 四棱锥P?ABCD的底面是正方形，
PD?底面ABCD，点E在棱PB上.
(Ⅰ) 求证：平面AEC?平面PDB；
(Ⅱ) 当PD?2AB，且直线AE与平面PBD成
PE角为45?时，确定点E的位置，即求出的值.
EB20. (本小题满分12分)．
E D C x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）右顶点与右焦点
ab的距离为3?1，短轴长为22.
（I）求椭圆的方程；
A B （II）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为
32，求直线AB的方程． 4
21.(本小题满分12分)
1?x2已知函数f?x??2lnx?
x （1）求函数f?x?的单调区间;
1 （2）求不等式2lnx?(1?)?x?1的解集． 并利用不等式结论比较ln2(1?x)x与
x2的大小． 1?x
1 （3）若不等式?n?a?ln(1?)?1对任意n?N*都成立，求a的最大值．（只写
n出结论不要求写论证过程）．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
C 如图, ?ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径, PA是过 P
点A的直线, 且?PAC??ABC. (Ⅰ) 求证: PA是⊙O的切线;
O (Ⅱ)如果弦CD交AB于点E, AC?8, A . B
CE:ED?6:5, AE:EB?2:3, 求sin?BCE.
23．(本题满分10分)选修4－4 ：坐标系与参数方程
将圆
上各点的纵坐标压缩至原来的
D E
，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l
(I)求直线l与曲线C的方程； (II)求C上的点到直线l的最大距离. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设关于x的不等式x?1?a?x.
(I) 当a?2，解上述不等式。
（II）若上述关于x的不等式有解，求实数a的取值范围。
答案及评分标准
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 B 6 B 7 C 8 B 9 C 10 C 11 A 12 B 13. 1 14. 10 15. 43? 16.
? 217. (Ⅰ)Sn?n2?Sn?Sn?1??n2?n?1? ……………………………………… 2分
nn?1Sn?1?Sn?n bn?bn?1?n(n?2) …………………… 6分 n?1n(Ⅱ) b1?1, bn?bn?1?n, bn?1?bn?2?n?1 , ? , b2?b1?2累加得
n2?nbn? ……………………………………… 10分
2
n22n?1?n?2?…………………… 11分 ?Sn? ,an?Sn?Sn?1?22经检验a1?2n?12n?11符合an?,?an? …………… 12分
22218. (Ⅰ) ?可能的取值为2,3,4,5,6,7,8
1111C3C3C3C2?2129 P???2??11? P???3?? ?1149C7C749C7C711111111C1?210C1?210C2C2C3C2C1?2C3 P???4??11? ???P??5???1111114949C7C7C7C7C7C7C7C71111C2C1?2C1C1225??P??7?? P???6?? ??111111C7C749C7C7C7C749 P???8??分
11? …………………………… 611C7C749(Ⅱ) ?可能的取值为2,3,4,5,6,7, ………………………… 7分
C321P???2??2?C77
11C3C22P???3???27C7
12C3?C24 P???4???221C7111C3?C2C2125??P??7? ??P??6??P???5???22212121C7C72 3 4 5 6 7 124521P 7721212121 …………………………… 11分
E????4 …………………………… 12分
19. (Ⅰ)设AC 交BD于O,连接OE
?PD?平面ABCD,?PD?AC,?BD?AC ?AC?平面PBD,
? 又AC?平面AEC,?平面ACE?平面PBD………………………… 6分