第十一章 无穷级数
(A)
用定义判断下列级数的敛散性
1．
???n?1?11??1；3．???n?n?。 n?2?n?1 ；2．?5?n?12n?2n?2?n?1?3??判断下列正项级数的敛散性
????nen4n!2n?3n?14．?；5．?n；6．?；7．?；8．?； n??nn?32n100en?1n?1n?1n?1n!n?1??n???1??n?9．??。 ?；10．?n2n?1n?1?3n?1??nn求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
11．???1?n?1?n?1n2n?1；12．???1?n?2?n1；13．1.1?1.01?1.001?1.0001??； lnn14．
1234?2?2?2??； 22?13?14?1求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
15．?n?1??3n??xn1nnx；16．???1?n；17．?n!x；18．?n?x?1?；
nnn?1n?12nn?1n?n19．?n?112n?1x2n?1n2n；20．?nx；
n?13?求下列级数的和函数
21．?nxn?1?n?1；22．?n?1?122n?1； xn?1将下列函数展开成x?x0的幂的级数
ex?ex23．shx?，x0?0；24．cos2x，x0?0；
225．?1?x?ln?1?x?，x0?0；26．
1，x0?3； x将下列函数在区间???,??上展开为付里叶级数
27．A?x??cosx，????x???。28．f?x???2t，????x??? 2 1
?2x,?3x?t?029．将函数f?x???展开成付里叶级数。
x,0?t?3?l?x,0?x???230．将函数f?x???分别展开成正弦级数和余弦级数。
l?l?x,?x?l?2?
(B)
用定义判断下列级数的敛散性
??111．?；2．?；3．?????????3n?13n?4nn?1n?2n?0n?1n?1?? n?2?2n?2?n；
?判断下列正项级数的敛散性
?2nn!?2n?4．?n；5．???n3n?1?n?1n1??2n?3nn?an；6．?，(a?0)； nn?1?2n?1???b7．???n?1?an????，其中an?a(n??)，an，b，a均为正数； ?1n?1xna?08．?，()；9．2x； ?n?01?x41?1n?1n?1?判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛
???n?12nn?1n?1；11．???1?；12．???1?n2?n?1n!n?1n?1210．???1?n?1n?11??ln?2??n??；
?3n?2??3n?2?求下列幂级数的收敛半径和收敛域
?xnx2n13．???1?；14．?n，(a?0,b?0)； n??2n!a?bn?1n?1?n?13n???2?2n?115．???1?nn?x?5?；16．??x?1?n；
24nn?1n?1?nn求下列级数的和函数
?2n?12n17．?nx；18．?x；19．?n2xn；
n!n?1n?1n?12n??20．求证：ln2??
1； nn?1n?22
?将下列函数展开成x?x0的幂的级数
21．f?x??11x??fx?，；22．，；23．，x0?0； x?0x?10022x2?3x?1x21?x24．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项； 25．写出函数f?x??1?x?2k??，x???2k?1??,?2k?1???，k?0,?1,?2,?的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
26．设f?x?是周期为2?的周期函数，它在???,??上的表达式为
????,???x???22????f?x???x,??x?，将f?x?展开成付里叶级数。
22????,?x???22?27．将函数f?x??x2，(0?x?l)分别展开成正弦级数和余弦级数。
(C)
1．用定义判断下列级数的敛散性
1 ???????2n?12n?12n?3n?1?2．设ai?0，?i?1,2,??，判断级数
ana1a2??????的敛散性。
?1?a1??1?a2???1?an?1?a1?1?a1??1?a2?判断下列正项级数的敛散性
1????lnn3n?n!2n?1??1?； 3．?n；4．?1；5．?n??n?1n?1?n?1n?2nn2?1n?6．判断级数?sin的敛散性。
n2n?1?求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
7．?n?1??n?1?n2x?n2n11?n?；8．???1??1?????xn；
n??2n?13
?
求下列级数的和
n?1??1?9．? ??n2n?1n?1??d?ex?1?n?10．展开?为幂级数，并推出?1。 x??dx?xn?1?n?1?!??11．求级数?n2x3n?1的收敛区间及和函数。
n?1?n2???x?,0?x??2212．设函数f?x???，试分别将f?x?展成为以2?为周期的
??0,?x???2?区弦级数和余弦级数。
??1,???,0?13．将周期函数f?x???，展为付氏级数，并据此求周期函数?1,?0,???a,???,0?，f2?x??|x|，???,??的付氏级数，求下面级数f1?x?????b,0,???4?111?1?2?2????。 ??2????34?2n?1??第十一章 无穷级数
(A)
1．解：∵Sn??k?1n?nk?2?k?1?n?2?2??，(n??),∴原级数
?发散。
11n?11?1?11?12．解：∵Sn????????????，
2k?1?2k2k?2?2?22n?2?4k?12k?2k?2?(n??)，∴原级数收敛且和为
1。 41?11??nn1?n113?3n?13．解：∵Sn???k?k???k??k?15?k?13k?1?3k?151?3?
1??1???1?n???5?5??1?1
1241?533，(n??)，∴原级数收敛且和为。
444
Un?1?n?1?!100nn?14．解：∵lim?limlim??，∴由比值判别法知原级
n??Un??100n?1n??100n!n数发散。
eUn?1?n?1?en1?n?1?15．解：∵lim?limn?1?lim??1，∴由比值判别法??en??Un??en??e?n?enne知，原级数收敛。
6．解：∵limUn?limn??n??n?11??0，∴原级数发散。 2n2?Unn?2n?3?1?lim?2，而?发散，∴由比较判别法知原级7．解：∵limn??1n??n?n?3?n?1nn数发散。
4Un?1?n?1?n!1?n?1?8．解：∵lim?lim?lim???0，∴由比值判别法
n??Un???n?1?!n4n??n?1?n?n4知，原级数收敛。
n1?n??lim??1，∴由比值判别法知，9．解：∵limnUn?limn??n??n??n??3n?13?3n?1?n原级数收敛。
n10．解：∵
nUlimn?n??n?1n?Un?2nnnn?1n?1n?11，而lim?lim?，故
n??n??22221?1，∴由比值判别法知，原级数收敛。 2??11．解：?|Un|??n?1n?1n2n?1，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故
原级数绝对收敛。
??1111?，而?发散，故?12．解：|Un|?发散。因此原级数非绝对lnnnn?2nn?2lnn收敛，又，显然
111?0，故由莱布尼兹判别?，n?2,3,?，且limn??lnnln?n?1?lnn法知原级数条件收敛。
13．解：∵lim|Un|?lim|0?0|?0，∴原级数发散。
n??n?? 5