n1n2n1lim?lim?，故limUn??1，∴由根值判别法知原级数收敛。
n??n??2n?1n??2n?122nnn?b?bbb??1，即 b?a时，原7．解：∵Un??，，∴当??n?????a?aana?n?b级数收敛；?1，即b?a ，原级数发散，当b?a时不定。
a8．解：当a?1时，∵lim1?0，∴级数发散。
n??1?ann?Unan1 当a?1时，∵(u??)，而?收敛，∴级数发散。 ??1，
11?anan?1nan13n209．解：∵Un??1n0xdx??1?x41n02xdx?x3?2121，∵收敛，∴??3333n?1n2n2由比较判别法知级数收敛。
?Un?12?n?1?n!22n?1????，?n???，故?Un也发散，故10．解：∵
?n?1?!2n2n?1Unn?12也非条件收敛。
??n?12n22??，而?发散，故级数?|Un|发散，11．解：∵|Un|?2n?n?1n2nn?1n?1n?n?1?即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列?2?单调递减且收敛
?n?n?1?于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。
1??nln?2????|Un|1n?ln2??lim?12．解：∵lim，而?发散，∴?|Un|发散，
2n??n??13n?1n?1n9n?4n即原级数非绝对收敛。
1??ln2????nn?1??0 记原级数为???1?an为交错级数，∵liman?lim?n??n??n?19n2?4 11
又
an?1an1??ln?2??n?1????3n?1??3n?5?1??ln?2??3n?2??3n?2???n?1??1?1???ln?2??ln?2??n?n????3n?2??3n?2??1，
?3n?1??3n?5?即an?1?an，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。
Un?1x2?n?1??2n?!x213．解：∵???0，?n???，故对?x，
?2?n?1??!x2n?2n?1??2n?1?Un原级数收敛，所以收敛半径为?，收敛区间为???,???。
14．∵liman?limnn??n??n11，∴R?max?a,b?，当x??max?a,b??ax?a,b?an?bnm时，原级数发散，故收敛区间为??R,R?，其中R?max?a,b?。
15．解：∵
2?x?5?∴当
2n?32Un?1??x?5?2n?4nx?5???，?n???， n?12n?1Un42?n?1??4?x?5?42?x?5??1，即?7?x??3时，原级数收敛，当
4?1，即x??3或
x??7时，原级数发散，当x??7，原级数收敛，当x??3时原级数也收敛。故
原级数收敛半径为2，收敛区间为??7,?3?。
?2?3?2???n?1an?13n?1???2?n?3?n?3，16．解：∵???n?nnann?13???2??2?n?11?????3??n???，∴R?1，当|x?1|?1，即?4?x??2，原级数收敛。当x??4时，
333332?42?原级数收敛，当x??时，原级数发散。故原级数的收敛区间为??,??。
3?33?nx?2n17．解：?nx??2nx2n?1，但
2n?1n?1??2nxn?1?2n?1????2n??1????x????1? 2??n?1??1?x?2x?1?x?22x?x2x，故有?nx??2nx2n?1?2n?121?x2n?12n????1?x?2?x222，?|x|?1?。
12
18．解：∵ex?2??2???112nx2n?1???x，????x????，而xex????? n!n!n?0?n?0???????12n?12n?12n2n?12n??x??x?1??x，
n!n!n!n?0n?0n?1??∴?2?222n?12nx?xex?1?ex?2x2ex?1，????x????。 n!n?1???n19．解：∵?nx?x?n?n?1?x2n?1n?1??n?1??nxn?1，
n?1?∵?nxn?1n?1???1??n??x????x???? ?2?n?1??1?x??1?x? ??n?1?nxn?1n?1???2??x2??1?n?1????，故 ???x?????x?1?3?1?x????1?x??1?x??n?1??????n2xn?xn?1?212xx，?|x|?1?。 ?x??3232?1?x??1?x??1?x??1?x??n?xn1?x?20．证明：考虑级数?????S?x?，|x|?2，逐项微分得：?nn?1n?2n?1n?2?1?x?S??x?????n?12?2??n?1?111，|x|?2。 ??x22?x1?21xdx??ln|2?x|0?ln2?ln|2?x|，取x?1，得02?xxf?x???S??x?dx??0xS?1???1?ln2。 nn2n?1?12112??21．解：f?x??，??2n?1xn，|x|?，
22x?3x?11?2x1?x1?2xn?0??1??xn，|x|?1 。 1?xn?0 13
∴f?x???2n?0?n?1x??x??2n?1?1xn，|x|?nnn?0n?0????1。 2????111??nn???22．解：2????????1??x?1?? ??1?x?1x?1??x?1??2??n?0??? ??n??1?n?1?n?1?x?1?n?1，(|x?1|?1)。
23．解：∵
111?321?3?5?74?1?x?x?x??
22?42?4?6?81?x? ?1????1?n?1n?2n?1?!!xn，|x|?1 ?2n?!!∴
x1?x2?x????1?n?1?n?2n?1?!!x2n?1，|x|?1。 ?2n?!!?1x125．解：an??xsinnxdx??cosnx????22x?2n????1??cosnxdx
?? ???1??n?11，n?1,2,? n∴f?x?~???1?n?1n?11sinnx。 n由于对?x???2k?1??,?2k?1???，有x?2????2k?1??,?2k?3???，所以
f?x?2???1??x?2???2?k?1????1?x?2k???f?x?。因此f 以2?周期的周期22函数，并且显然只有当x??2k?1??，k?0,?1,?2,?时x是f?x?及f??x? 第一类间断点，所以f?x?符合狄利克雷收敛定理的条件，故f?x?付氏级数在R处处收敛， ?k?0,?1,?2,?，有???1?n?1?n?1?f?x?,x??2k?1??1。 sinnx????0,x?2k?1?n?26．解：∵f?x?奇函数，所以an?0。
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bn?2???0????2?2f?x?sinnxdx???xsinxdx???sinnxdx?
??022?????22?1??sinnx?nxcosnx??cosnx?? ?2???n2n02?? ?2?1n??n? ??sin??12???22nn???所以f?x??1?1n?n????sin??1sinnx，除x??2n?1??均成立，????n?1n?n22?2(n?0,?1,?2,?)。
2l2n?xdx 27．解：bn??xsinl0l2?l ???l?n??2n?2ln?2l2n??xcosx?xsinx?cos?ln?lln2?2???x??? ??0x ??2n??22l?ll??nn????l?1??1???? ?n?nxn?????2l24l2n?1??1??33??1?n?1 ?n?n???又∵函数f?x?展成正弦级数为
???1?n?12??1?n?1?n?f?x???x，?0?x?l? ??sin?32?n?1?nln??2l2???又∵a0?2l222xdx?l ?0l32l2n?4l2nxdx?22??1? an??xcosl0ln?l24l2∴f?x?展开成余弦级数为f?x???23?(C)
?n?1???1?ncosn?x，?0?x?l?。
n2ln111?11?1．解：Un????????
??????2k?12k?12k?32k?142k?1k?3??k?1k?1n1??11??11?? ???????????
2k?1??2k?12k?3??k?18??2k?1
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n