高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案
（选自西北工业大学2005级高数考题）
一、填空题（每小题3分，共36分） ?1?1.lim??1??x???xy??y??x?1??1??lim??x???xy??y??xy?1y??1???lim??1??x???xy???y???xy????limx??y??1y?e? 1 .
012.函数z?z(x,y)由方程exz?sinyx?0确定，则
?z?y??FyFz??xcosxexzyx??cosxe2yxzx .
3.设函数u?lnx?y?z222，则它在点M0(1,?1,1)处的方向导数的最大值为
33.
4.设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a??5.
1225.空间曲线
1y2?2x,z2?1?x在点(,1,2)处的切线方程为
x?2?y?1?11z??22 .
12202x?x026.改变积分次序：I??dx?f(x,y)dy?
?10dy?21?1?y21?1?y2f(x,y)dx .
127.设平面曲线L为下半圆周y??1?x2，则?(x?y)ds?L2?L1?ds??1??? .
28.设?为曲面z??e?x,9.设f(x)???1,12(1?e) .
?22x?y在0?z?1的部分，则??xdS? 0 .
????x?00?x??,则其以2?为周期的傅里叶级数在x??处收敛于
10.设y1,y2,y3是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为 C1(y1?y2)?C2(y2?y3)?y1 .
y1?y2y2?y3?常
1
11.函数f(x)?12?x1x?展开为x的幂级数的形式为?n?0x12xn?1nx?(?2,2) .
12.微分方程y??y?xe的通解为 Cx?xe .
x二、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设z?f(yx,exy)，y??(x)，其中f,?均为一阶可微函数，求dzdx?f1??y?x?y2xy?f2??e(y?xy?)
dzdx.
解：
?f1??2.求曲面z?4?1222xx??(x)??(x)x2xy?f2??e(?(x)?x??(x))
(x?y)与平面z?2所围立体的体积.
解：所围立体在xoy面的投影域D:x2?y2?4，所围立体的体积
12?2[4?(x?y)]??2?2 V???D1?2?dxdy?2??dxdy?2?D??D(x?y)dxdy
22 ?2?2??1?22?0d??20rrdr?8??4??4?
23.在曲面x2?2y2?3z2?66上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面
x?y?z?1平行.
解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令
F(x,y,z)?x?2y?3z?66，
222则切平面的法向量
n?(Fx,Fy,Fz)M?(2x,4y,6z), 已知平面x?y?z?1的法向量
? n1?(1,1,1) ??依题意n//n1，即
?
2x1?4y1?6z1令?t
代入曲面方程中解的x?6,y?3,z?2，即切点坐标为M(6,3,2). 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设?是由锥面z?
x?y22与半球面z?1?x?y2
22围成的空间区域，?是?的整个
边界的外侧，求曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy.
?解：已知P(x,y,z)?x，Q(x,y,z)?y，R(x,y,z)?z，由高斯公式有
?P?x?Q?y?R?z???xdydz?ydzdx?zdxdy?????(??)dv
?3???dv?3??2??0d??40d??rsin?dr
012?3?2??(1?1232222?)?13?(2?2)?
2.写出级数??523724??的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.
2n?12n解：该数项级数的通项为un? limun?1un；级数为正项级数，由于
n???limn??12n?11??， 22n?12由比值审敛法知该级数收敛.令
??n?n?1s(x)??(2n?1)xn?1?2x?nxn?1??xn?1n?2xs1(x)?s2(x)x?(?1,1)，
则
?于是
x?0s1(t)dt???n?1x?0ntn?1dt??n?1xn?x1?x，
d?x1??s(t)dt s1(x)?， 1???0?(1?x)2dx?又
?s2(x)??n?1xn?x1?x，
所以
s(x)?2x(1?x)2?x1?x?x?x22(1?x)x?(?1,1)，
于是
s()?21??(2n?1)2n?11n?x?x2????3. 2??(1?x)?x?12 3
3.求微分方程y???3y??2y?2ex的通解.
解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程r2?3r?2?0的特征根为
x*r1?1,r2?2，f(x)?2e的??1为特征方程的单根，则原方程的特解为y?Axex，
代入原方程中得A??2,齐次线性微分方程的通解为Y?C1ex?C2e2x,所以原方程的通解为
y?Y?y*?C1ex?C2e2x?2xex.
四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2的极值.
?fx(x,y)?0?x?2, ,得驻点?解：由于fx(x,y)?4?2x，fy(x,y)??4?2y，令??y??2?fy(x,y)?0B?fxy(x,y)?0，C?fyy(x,y)??2，又 A?fxx(x,y)??2，及(B?AC)(2,?2)??4，
2则点(2,?2)位极大值点，极大值为
f(2,?2)?4[2?(?2)]?2?(?2)?8.
?222.求幂级数?n?1(x?1)n2nn的收敛半径及收敛域.
? 解：令 t?x?1，则
?n?1(x?1)n2nn???n?11n2nt，由于
nliman?1ann???limn2nn?1n??(n?1)2??12，
则收敛半径R?2.又当t??2时，级数?n?1(?1)nn?收敛，当t?2时，级数?n?11n发散，所以
t?[?2,2)，即级数的收敛域为[?1,3).
3.设z?sin(xy)??(x,xy)，其中?(u,v)具有二阶偏导数，求
?z?x?y2.
解：
?z?x?ycosxy()??1?(x,xy)?1y?(x,?2xy)，
4
?z?x?y2??(x,?cos(xy)?xysin(xy)??12xy)?(?xy2)?1y2?(x,?2xy)?1y??(x,?22xy)?(?xy2)
五、（本题5分）求函数f(x,y)?x?y?2在椭圆域D?{(x,y)|x?大值和最小值.
?fx(x,y)?0,在D内求得驻点(0,0). 解：由于fx(x,y)?2x，fy(x,y)??2y，令??fy(x,y)?0222y24?1}上的最
在D的边界上，设
F(x,y,?)?x?y?2??(x?222y24?1)，
得
??Fx(x,y,?)?2x?2?x?0?1?F(x,y,?)??2y??y?0?y2?2?F(x,y,?)?x2?y?1?0??4?(1)(2) (3)?x??1?y?0当x?0，由（1）得???1，代入（2）得y?0，在代入（3）得??x?0得?；由于
y??2?；同理当y?0f(0,0)?2， f(?1,0)?3， f(0,?2)??2，
所以最大值为3，最小值为?2.
六、（本题5分）设在上半平面D?{(x,y)|y?0}内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且
?2对任意的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)，证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线
L，都有?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.
L解：由格林公式，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，
?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy????[?f(x,y)?xfx(x,y)?f(x,y)?yfy(x,y)]dxdyD1.
????[?2f(x,y)?xfx(x,y)?yfy(x,y)]dxdy （*）
D1 5
由于函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t?0都有f(tx,ty)?t?2f(x,y)，即
tf(x,y)?f(tx,ty)
2上式两端对t求导有
2tf(x,y)?xf1?(tx,ty)?yf2?(tx,ty) 特取t?1得
2f(x,y)?xfx(x,y)?yfy(x,y) 由（*）式既有
?Lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0
6