作者： Alan Rawle 马尔文仪器有限公司Enigma Business Park, Grovewood Road, Malvern, Worcestershire, WR14 1XZ, UK （英国）
什么是颗粒？ 这一问题的提出似乎十分愚蠢！但是，要想对各种粒度分析
方法所得出的结果进行分析，这又是一个十分基本的问题。
颗粒的分散过程和材料的形状使粒度分析比乍看起来要复 杂得多。 确。然而，即使是对于立方体， 高圆度 我们也不能以同样的方式做 粒度分析基本原理
100 × 20 μm圆柱体的等效球
体直径
假设有一个直径D1=20 μm（即r=10 μm），高度为100 μm的圆柱体。另有一个直径为D2的与圆柱体有等效体积的球体。我们可以用以下方式计算这个直径D2： 圆柱体的体积 =
中圆度 到，因为50μm可能是指一条低圆度 边或者指一条对角线。对于火 棱角明显 有棱角 接近棱角 接近光滑 光滑 柴盒而言，它拥有许多可以用 特性： 一个数字描述的特性。例如重
V=体积 最小直径 W=重量 S=表面积 量是一个单一的数字，体积和最大直径 A=投影面积
R=沉降速度 表面积亦然。因此，如果我们图1 有一种方法可以测量火柴盒
有关粒度的难题
的重量，那么，我们可以把这假设给你一只火柴盒和一把个重量转化为球体的重量：
尺子，要求你告诉我它的大小。重量 = 4/3πr3
ρ
你可能回答火柴盒的大小是而计算出与火柴盒重量相等20×10×5 mm。但是你若回答球体的独特直径（2r）。这就“火柴盒的大小是20 mm”，是等效球体理论。我们测量颗这是不正确的，因为这仅仅是粒的一些特性，并假设这指的其大小的一个维度。你不可能是一个球体，由此得出一个唯用一个单独的数字来描述一一的数字（这个球体的直径）只三维的火柴盒的大小。显然，来描述颗粒。这样，可以保证对于复杂的形状，比如一颗砂我们不必以三个或更多数字粒或漆罐中的一粒颜料而言，来描述三维颗粒，虽然那样更情况变得更加困难。如果我是加精确，但对于具体操作而言质量保证经理，我只想用一个并不方便。 数字来描述颗粒的大小-比如我们可以看出，取决于物体的我必须知道从上一次生产起，形状，这将产生一些有趣的结颗粒的平均大小是增加了或果。我们可通过圆柱体等效球是减少了。这就是粒度分析的体的例子来说明这种情况（图一个基本问题-我们如何能够2）。然而如果圆柱体改变了形只用一个数字来描述一个三状或大小，则体积/重量会发维物体呢？ 生变化。有了等效球体模型，图1显示了一些砂粒。它们的我们至少可以说它变得更大大小是多少？ 了或更小了。
等效球体
只有一种形状可以用一个数
字来描述，那就是球体。如果
我们说，一个球体的直径是
50μm，这样的描述是完全正 图2
1
πr2h = 10000π（μm3
） 球体的体积 =
43?X3 其中X是等效体积半径。
?X?33V4??0.623VX?330000?34??7500?19.5μm ?D2?39.1μm 对于高100 μm，直径20 μm 的圆柱体，体积等效球体直径约为40 μm。下表指出了各种比率圆柱体的等效球直径。最后一行对应于典型的盘形大粘土颗粒。它看起来直径为20 μm，但由于厚度只有2 μm，我们通常不考虑厚度。在测量颗粒体积的仪器上，我们可能得到的答案是半径约为5 μm。因此，不同的方法可能给出有争议的答案！对于一个25 μm的筛子而言，所有这些圆柱体看起来是相同大小的，可以说“所有材料都小于25 μm”。然而对于激光光衍射而言，这些“圆柱体”看起来是不同的。
样的颗粒，不可能有粒度标准。这又是一个数量平均值（数量为了在不同方法间进行比较，-表面平均值），因为，在方程标准必须是球形的。但是，对的底部出现了颗粒的数量。我1:1 2:1 于一种特定的测量方法，我们们得到了直径平方和，因此用5:1 可以有一种粒度标准，从而允数学术语表达，这称为D[2,0] 10:1 20:1 许在使用那种方法的仪器之-直径项的平方在顶部，底部圆柱体的大小 高度 直径 20 20 40 20 100 20 200 20 400 20 纵横比 等效球直径 22.9 28.8 39.1 49.3 62.1 10 20 0.5:1 18.2 4 20 0.2:1 13.4 间进行比较。 2 20 0.1:1 10.6 不同的方法 D[4,3]等 显然，如果我们在显微镜下观假设有三个直径分别为1、2、察颗粒，我们看到的是它的某3单位的球体。这三个球体的个二维投影，由此可以测量到平均尺寸是多少？我们的第许多不同的直径来表示颗粒一反应是2.00。我们是如何得的特性。如果我们取颗粒的最到这个答案的？我们把所有大长度，并以此作为我们的尺尺寸相加 寸，那么我们实际上是说我们(?d = 1+2+3) 的颗粒是这个最大尺寸的一然后除以颗粒数量（n=3）。个球体。同样，如果我们使用这是一个数量平均值（更精确最小直径或者某个其它量比地说是数量长度平均值），因如Feret直径，那么，我们对为方程中出现了颗粒的数量：于这个颗粒的尺寸就会得到平均直径= 另外一个答案。因此，我们必1?2?3须明白，每一种表征方法测量3?2.00??dn 颗粒的不同特性（最大长度、 最小长度、体积、表面积等）；用数学术语表达，这称为与测量其它尺寸的另一种方D[1,0]，因为，方程顶部的直法相比会给出不同的答案。图径项是一次幂（d1），而方程3显示了对一颗砂粒的一些底部没有直径项（d0）。 可能的不同答案。每种方法都但是，假如我是一名催化剂工不是错误的-它们都是正确的程师。我想基于表面积比较这-只不过是测量了颗粒的不同些球体，因为表面积越大，催特性。就象有人用一把厘米尺化剂的活性越强。球体的表面测量火柴盒，而我用一把英寸积是4πr2。因此，基于表面尺来测量一样（而且你测量长积进行比较，必须把直径平方度，我测量宽度！）所以，要除以颗粒的数量，然后取平方严肃地比较粉末的测量结果，根. 只能使用相同的方法。 相同最小长度的球体 相同重量的
球体
相同最大长度的球体
相同体积的 球体 有相同沉降速 度的球体
相同表面积 的球体
通过相同筛(12这也意味着对于比如砂粒这孔的球体 ?22?32)3?2.16??d2n
2
没有直径项。 假如我是一名化学工程师，我
想基于重量比较这些球体。球体的重量为： 43?r3?
我们必须将直径乘三次方，除以颗粒的数量，取立方根，得到平均直径： 3(13?23?33)3?2.29?3?d3n 这又是一个数量平均值（数量-体积或数量-重量平均值），因为方程中出现了颗粒的数量。用数学术语表达，这被认为是D[3,0]。 简单平均值D[1,0]、D[2,0]、D[3,0]的主要问题是公式中含有颗粒的数量。这样就必须清点大量颗粒。在污染、控制和清洁应用中，通常情况下，只有当数量非常小（ppm或ppb）时，才进行颗粒清点。简单的计算表明在1克大小均为1 μm的二氧化硅（密度2.5）中，有大约760 × 109个颗粒。 因此必须引入力矩平均值概念，尽管这通常会引起混淆。两个最重要的力矩平均值为： ? D[3,2]-表面积力矩平均
值-Sauter平均直径 ? D[4,3]-体积或质量力矩平均值-De Brouckere平均直径。
这些平均值类似于惯性力矩，并在直径中引入另一个线性
项（即表面积依赖于d3，体积或质量依赖于d4，如下）： 14?24?34?d4D?4,3???2.72? 13?22?33?d3 13?23?33?d3D?3,2???2.57?12?22?32?d2
这些公式指出了（表面积或体积/质量）分布围绕哪个频率中心点旋转。实际上，它们是各个分布的重心。这种计算方法的优点是很明显的-公式不包含颗粒的数量，因此，计算平均值和分布不需要知道有关颗粒的数量。这就是为什么激光光衍射的原始数据是基于体积分布的D[4,3]。
Xnl?D?1,0??Xns?D?2,0??1?2?3?2.0031?4?9?2.163Xnv?D?3,0??3Xls1?8?27?2.2931?4?9?D?2,1???2.331?2?399.3%的小颗粒！
如果我们计算以上分布的平均值，我们发现数量平均值约为1.6厘米而质量平均值约为500厘米-又一次极为不同。
1?8?27?2.451?2?31?8?27Xsv?D?3,2???2.571?4?91?16?81Xvm?D?4,3???2.721?8?27?XwmXlv?D?3,1??数量、长度和体积/质量平均值之间的互换
如果我们正在电子显微镜下测量颗粒，从前一节（不同方法给出不同的平均值）我们知道我们在计算D[1,0]或者数量-长度平均大小。如果我们实际上需要的是质量或体积平均大小，则我们必须把数量平均值转换为质量平均值。在数学上，这是非常切实可行的，但是，让我们来检查一下这种转换的结果。
假设电子显微镜测量方法在平均大小上的误差为±3%。当我们把数量平均大小转换为质量平均大小时，由于质量平均值是直径的立方函数，则在最终结果上我们的误差会乘立方或者以±27%变化。 但是，如果我们象用激光光衍射那样计算质量或体积分布，情况就不一样了。对于在液体悬浮中再循环条件下测量的稳定样品，我们能够产生体积平均值再现性±0.5%。如果此时我们把该体积平均值转换为数量平均值，误差或数量平均值是0.5%的立方根或小于1.0%！ 实际上，这意味着如果我们使用电子显微镜，而我们实际上想得到的是体积或质量分布，则忽视或丢失一个10 μm颗粒的结果与忽视或丢失1000个1 μm颗粒的结果相同。因此我们必须明白互换的巨大危险！
马尔文仪器公司颗粒分析仪的软件会计算推导出其它直径。但是，我们必须非常小心如何解释这些导出的直径。不同的平均值可以通过以下方
数量和体积分布
大小(cm) 10-1000 1-10 0.1-1.0 合计 物体数量 7000 17500 3500000 3524500 数量% 0.2 0.5 99.3 100.0 质量% 99.96 0.03 0.01 100.0 不同的方法给出不同的平均值
如果我们使用电子显微镜测量颗粒，我们可能会用计数线测量直径，把它们相加，然后除以颗粒的数量得到平均结果。我们可以看出我们用这种方法得到的数量长度平均值D[1,0]。如果我们使用某种形式的图像分析，则可以测量每个颗粒的面积，然后除以颗粒的数量而产生D[2,0]。如果我们用电阻法，我们可以测量每个颗粒的体积，然后除以颗粒的数量而产生D[3,0]。
激光衍射可以产生D[4,3]或等价的体积平均值。如果密度是恒定的，这也等于重量等效平均值。因此，每种方法测量颗粒的不同特性并会产生一个不同的平均直径。无怪乎人们会被各种结果而混淆因为我们可以得到无穷的“正确”答案!假设有三个直径分别为1、2、3单位的球体：
以上例子源于《新科学家》（1991年10月13日）上的一篇文章。在太空中，有大量人造物体沿地球轨道飞行，科学家们定期跟踪它们。而且科学家们还根据它们的大小对它们进行分组。
如果我们查看以上的第三列，我们会（正确地）得出结论：占所有颗粒99.3%的颗粒小得不可思议。这是在数量的基础上评估数据。但是，如果我们查看第四列，我们会（正确地）得出结论：实际上所有物体都介于10-1000厘米之间。这是所有物体质量之所在。注意数量和质量分布是极为不同的，视使用何种分布而定，我们会得出不同的结论。 没有哪一种分布是不正确的。只不过是以不同的方式查看数据而已。例如，如果我们在制造一件太空服，我们可以说避免7000个大物体很容易，而这考虑了所有情况的99.96%。但是，对于太空服而言，更重要的是防护占数量
3
面积，单位为m2/cc或m2/gm。
我们切不可对这个值过于认这个数值更能显示出系统的真。如果我们实际想要得到的质量所在，对化学过程工程师是材料的比表面积，我们真正更有价值。 该用的是表面积测量专用方但是，假设我们在净化室中制法，例如B.E.T或水银孔率法。 作硅片或砷化镓。此时如果有 一个颗粒掉在硅片上，往往会我们该用哪个值？ 造成缺陷。在这种情况下，颗记住,各种不同的方法测量颗粒的数量或浓度非常重要，因粒的不同特性（或尺寸），而为1个颗粒=1个缺陷。我们且我们可以以大量不同的公想使用一种方法直接测量颗式使用数据而获得不同的平粒的数量或给出颗粒的浓度。均值结果（D[4,3], D[3,2]等），实质上，这就是颗粒计数和颗那么，我们应该使用哪个值粒分级之间的差异。清点时，呢？ 我们会记录每个颗粒并进行让我们举一个简单的例子：两清点-大小并不那么重要，我个球体直径分别为1和10个们可能只需要有限数量的粒单位,并假设我们在加工黄金。度等级（比如8）。在粒度测如果我们计算简单的数量平量时，比起颗粒的大小或大小均直径，这会给出： 分布而言，颗粒的绝对数量关 系不大，而我们可能需要更多 的粒度等级。 1?10D?1.0???5.502 对于哮喘患者使用的计量吸
入药品而言，药物的浓度及其
lnD1.0?3lnXv?2.5ln2?由此我们假定系统中颗粒的颗粒大小分布都很重要。
平均尺寸是5.50单位。但是，
实测的和导出的直径
我们必须记住，如果我们在加平均值、中间值和最频值-基
我们已经看到马尔文仪器激
工黄金，我们感兴趣的是材料本的统计值
光光衍射方法由分析光能数
的重量。例如，在工艺物料流定义这三个术语是很重要的，
据产生了一个体积分布。（注
中，我们对其中含有350万颗因为它们在统计和粒度分析
意，对于弗朗霍夫分析所得到
粒不感兴趣，我们更感兴趣的中常常被误用。
的是投影面积分布）。该体积
是里面有1公斤或2公斤黄金。
分布可以如上所示转换为任
记住，质量平均值是直径的立平均值
何数量或长度直径分布。
方函数，我们可以看出，直径这是分布数据的某个算术平
但是，在任何分析方法中，我
为1单位的球体，质量为1均值。可以计算出许多不同的
们必须清楚这种转换的结果
单位，直径为10单位的球体颗粒平均值（参见D[4,3]等
（参见上一节数量、长度和体
质量为103=1000单位。 节）。
积/质量平均值之间的互换），
也就是说，较大的球体组成系
以及设备实际上测量的是哪
统总质量的1000/1001份。如中间值
个平均直径，哪个直径实际上
果我们在制造黄金，我们可以这是把整个分布恰好平分成
是计算出来的或是从最初测
扔掉1个单位的球体，因为我两半的颗粒大小数值，即有
量的直径推导出来的。
们的损失小于系统总质量的50%分布在这个值之上，有
其它方法会由一些测量得到
0.1%。因此，数量平均值不50%在它之下。
的直径推导出其它直径。例如，
能准确地反映系统的质量所
显微镜会测量D[1,0]并且会
在。这就是D[4,3]更有用之处。 最频值
可能由此推导出其它直径。
在我们的两球例子中，质量或这是频率分布最常出现的数
比起推导出的直径，我们可以
体积力矩平均值按以下计算： 值，即频率曲线的最高点。
更信任实测的直径。实际上，
正态或高斯分布
在有些情况下，依赖于推导出
平均值 14?104的特性是非常危险的。例如，D?4,3???9.991 中间值 最频值 13?103马尔文分析表给出一个比表程相互转换（Hatch-Choate变换）（参考文献7）：
2 lnD4.3?1lnXv?0.5ln?
lnD4.2?2lnXv
2 lnD4.1?3lnXv?1.5ln?
2 lnD4.0?4lnXv?4ln?
lnD3.2?1lnXv?0.5ln2?
lnD?2lnX?2ln2?3.1v
lnD3.0?3lnXv?4.5ln2?
lnD2.0?2lnXv?4ln2?
2lnD?1lnX?1.5ln?2.1v
4
直径
测量方法
图4
假设我们的分布是正态或高斯分布。平均值、中间值和最频值会恰好在相同的位置。参见图4。但是假设我们的分布是双峰的，如图5所示。
双峰分布
平均值 中间值 最频值
直径
图5
平均直径几乎恰好在所示的两个分布之间。注意，实际上并没有这个平均值大小的颗粒！中值粒径在两个分布中较高一个的1%内，因为，这是把分布恰好分为两半的点。最频值在较高曲线的顶部，因为这是最常出现的直径数值。 这个例子表明平均值、中间值和最频值没有理由是等同的或者甚至是相似的，它取决于分布的对称性。
注意在马尔文仪器分析表中： ? D[4,3]-是体积或质量力
矩平均值-或又称为De Brouckere平均值。 ? D[v,0.5]-是体积（v）中
间值直径，有时也表示为D50或D0.5。
? D[3,2]-是表面积力矩平
均值或又称为Sauter平均直径值（SMD）。
在油漆和陶瓷行业这是一个
从以前的章节，我们可以看出，传统的测量方法。无论制造商由于测量颗粒的不同尺寸，各声称如何，其适用的范围为种测量方法产生不同的答案。2-50 ?m（参考文献1和2）。 我们现在讨论所使用的主要它的测量原理基于斯托克斯不同方法的有关优点和缺点。 定律方程 (终端速度): (?s??f)D2g筛分 Us?18?这是一种极为古老的方法，它 的优点在于廉价，所以适合用沉降法的仪器可以象安德逊于采矿业中较大的颗粒。 移液管那样简单，或者更复杂Terence Allen（参考文献2）的，涉及使用离心分离机或X论述了筛分法的再现性问题，射线的仪器。 但对许多用户而言，主要的缺检查这个方程会发现一个或点是： 两个可能的缺陷。由于材料的? 不可能测量喷雾或乳剂。 密度是关键，因此，这种方法
m ） 不能用于材料不沉淀的乳剂，? 测量小于400目（ 38μ 的干燥粉末非常困难。湿或者密度很高快速沉淀的材
筛分据说可以解决这个料。最终结果是与重量直径问题，但这种方法的结果D[4,3]不同的斯托克斯直径再现性非常差，而且难以（DST）。分母中的粘度项表明实施。 我们需要非常精确地控制温? 难以测量粘性和成团的度-温度变化1℃会使粘度变
材料例如粘土。 化2%。
? 有些材料比如0.3 μm的可以很容易的用这个公式来
TiO2根本不可能测量，计算沉降时间。一颗1微米的这种方法本质上不是高SiO2（密度2.5）颗粒在20℃分辨率的。 的水中在重力作用下需用3.5? 测量时间越长，答案越小，小时才沉降1厘米。因此，测
因为颗粒会由于定向而量极其缓慢，重复测量冗长乏通过筛子落下。这意味着味。因此，要增加g并尝试纠测量的时间和操作的方正这种情况。增加“g”的缺法必须严格标准化（例如点在参考文献3中已有论述。 轻叩）。 对沉降方法更详尽的评论可? 不能产生真实的重量分以在参考文献2中找到。斯托
布。这种方法更接近于测克斯定律只对就其体积或表量颗粒的第二最小尺寸。面积而言具有最紧凑形状的对于杆状材料例如制药球体有效。因为不规则形状的业中的扑热息痛会给出“正常”物体比球体有更大的一些奇怪的结果。 表面积，而比起它们的等效球? 公差。建议读者去查看 直径阻力增大，所以它们会落
ASTM（美国试验材料协得更慢。对于象高岭土的盘形会）或BS（英国标准）物体，这种效果更明显，预期筛分粒度表，从中可以会与事实产生较大偏差。
对于小物体，有两种竞查到关于平均和最大变此外，
争的过程-重力沉降和布朗运化的允许公差。
动。斯托克斯定律只适用于重
力沉降。下列表格显示了两种
沉降
5