17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分） 解：（1）在△ABC中，因为AB?80m，BC?70m，CA?50m，
由余弦定理得cos?BAC?AB?AC?BC2?AB?AC222222 ?????????????????????2分
?80?50?702?80?50?12． ????????????????????3分
?3因为?BAC为△ABC的内角，所以?BAC?．????????????????????4分
（2）方法1：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，
所以点O为△ABC外接圆的圆心．??????????????????????????5分 设外接圆的半径为R，
在△ABC中，由正弦定理得
BCsinA?3?2R， ???????????????????????7分
32因为BC?70，由（1）知A?，所以sinA?．
所以2R?7032?14033，即R?7033．???????8分
A 过点O作边BC的垂线，垂足为D，??????????9分
703BC70在△OBD中，OB?R?，BD???35， B 3222O C
D 所以OD?OB?BD22??703?2?35 ?????????????????????11分 ???3??? ?3533．
所以点O到直线BC的距离为3533m．???????????????????????12分
方法2：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，
所以点O为△ABC外接圆的圆心．????????5分 连结OB，OC，
过点O作边BC的垂线，垂足为D， ???????6分 由（1）知?BAC?所以?BOC???3?3A O B C ，
D ．
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所以?BOD??3．??????????????????????????????????9分
BC2?702?在Rt△BOD中，BD?BDtan?BOD?35，
3533所以OD??35tan60?．??????????????????????11分
所以点O到直线BC的距离为
3533m．???????????????????????12分
18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）
（1）证明：因为?PAB??PAC?90?，所以PA?AB，PA?AC．????????????1分
因为AB?AC?A，所以PA?平面ABC．??????????????????????2分 因为BC?平面ABC，所以BC?PA．????????????????????????3分
因为?ACB?90?，所以BC?CA．??????????????????????????4分 因为PA?CA?A，所以BC?平面PAC．??????????????????????5分 因为BC?平面PBC，所以平面PBC?平面PAC．??????????????????6分 （2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA?平面ABC，BC?CA， 所以PA是三棱锥P?ABC的高．???????????7分 因为PA?1，AB=2，设BC?x?0?x?2?，?????8分 所以AC?AB?BC1322P
?2?x?224?x．????9分
2B C
A
因为VP?ABC? ??S△ABC?PA
216161613x4?x??????????????????????????????10分 x2?4?x? 22 ???x??4?x2?2????????????????????????????11分
．??????????????????????????????????12分
2时等号成立．?????????????????????13分
22当且仅当x?4?x，即x?所以当三棱锥P?ABC的体积最大时，BC?2．???????????????????14分
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方法2：由已知及（1）所证可知，PA?平面ABC，
所以PA是三棱锥P?ABC的高．???????????????????????????7分 因为?ACB?90?，设?ABC???0????????，????????????????????8分
2?则BC?ABcos??2cos?，AC?ABsin??2sin?．?????????????????9分 所以S△ABC?所以VP?ABC? ?因为0???所以当???4121?BC?AC?S△ABC?PA
sin?2． ??????????????????????????????11分
12?2cos??2sin??sin2?．???????????????10分
313?2，
13，VP?ABC有最大值?4?． ?????????????????????????12分
此时BC?2cos2．??????????????????????????????13分
所以当三棱锥P?ABC的体积最大时，BC????????????????????14分 2．
19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）
解：（1）设等差数列?an?的公差为d，
?a1?a2?5,?2a1?d?5,因为?即????????????????????????????2分
a?7.a?2d?7.?1?3?a1?1,解得? ????????????????????????????????????3分
?d?3.所以an?a1??n?1?d?1?3?n?1??3n?2．
*所以数列?an?的通项公式为an?3n?2(n?N)． ???????????????????4分
（2）因为
1anan?1?1?3n?2??3n?1??1?11????， ?????????????????5分
3?3n?23n?1??1?所以数列??的前n项和
aa?nn?1?数学（文科）试题A 第 8 页 共 13 页
Sn?1a1a2?1a2a3?1a3a4???1an?1an?1anan?1
?1?1?1?11?1?11?1?????????????3?4?3?47?3?710?111?1????????n3?3n5?3?2n3???1?? ?3n?23?11?1?1?n．?????????????????????????????7分 1????3?3n?1?3n?1假设存在正整数m、n，且1?m?n，使得S1、Sm、Sn成等比数列，
则Sm2?S1Sn．???????????????????????????????????8分 1n?m?即?．??????????????????????????????9分 ???43n?1?3m?1?2所以n?4m22?3m?6m?1．
因为n?0，所以?3m2?6m?1?0． 即3m2?6m?1?0．
233因为m?1，所以1?m?1?*?3．
因为m?N，所以m?2．?????????????????????????????12分
4m22此时n??3m?6m?1?16．????????????????????????????13分
所以存在满足题意的正整数m、n，且只有一组解，即m?2，n?16． ?????????14分
20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）
解：（1）因为函数f(x)?x?2alnx，
所以函数f(x)的定义域为(0,??)．??????????????????????????1分 且f?(x)?2x?2ax2．?????????????????????????????????2分
若f(x)在定义域上是增函数，
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则f?(x)?2x?2ax?0在(0,??)上恒成立．??????????????????????3分
即a?x2在(0,??)上恒成立，所以a?0． ??????????????????????4分 由已知a?0，
所以实数a的取值范围为???,0?．??????????????????????????5分 （2）①若a?0，由（1）知，函数f(x)?x2?2alnx在区间[1,2]上为增函数．
所以函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(1)?1．???????????????????6分
2x?2ax2②若a?0，由于f?(x)?2x???a??x?xa?， ?所以函数f(x)在区间0,a上为减函数，在区间（ⅰ）若a?1，即0?a?1时，[1,2]????a,??上为增函数．?????????7分
?a,??，
?函数f(x)?x2?2alnx在区间[1,2]上为增函数，
所以函数f(x)在[1,2]的最小值为f(1)?1．??????????????????????9分 （ⅱ）若1?a?2，即1?a?4时，
函数f(x)?x2?2alnx在区间1,a为减函数，在所以函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f???a,2上为增函数，
??a??a?alna．??????????????11分
?（ⅲ）若a?2，即a?4时，[1,2]?0,a， 函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以函数f(x)在[1,2]的最小值为f(2)?4?2aln2． ?????????????????13分 综上所述，当a?1且a?0时，函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(1)?1． 当1?a?4时，函数f(x)在区间[1,2]的最小值为f??a??a?alna．
当a?4时，函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(2)?4?2aln2．??????14分
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