他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。 100枚金币由其余的四个人分，再由第二个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。 请你替第一个人制定一个合适的分配方案。
（注：分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。）
答：逆推法： 1. 五号为了得到全部的金币，会对前面四个人全投反对票， 五号为了得到全部的金币，会对前面四个人全投反对票，所以如果只 剩下四号和五号，四号必死无疑； 剩下四号和五号，四号必死无疑； 2. 四号为了生存，必须同意三号，若只剩下三四五号， 四号为了生存，必须同意三号，若只剩下三四五号，三号就可以独吞 三号 金币，所以四号必须同意二号； 金币，所以四号必须同意二号； 3. 三号和五号为了得到金币， 定反对二号，所以二号必须同意一号， 三号和五号为了得到金币，一定反对二号，所以二号必须同意一号， 四号因此也得同意一号。 四号因此也得同意一号。 4. 一号只要给二号和四号一定数量的金币就可以保证自己生存。 一号只要给二号和四号一定数量的金币就可以保证自己生存。比如一、二、四号各三分之一。 练习题13：学会管理工作
你的公司需要确定五名员工值一个月（30天）的班，每天只需要安排这五名员工中的二名值班。
请你们安排一个公平、合理、科学的值班表。 答：设五名员工的代号分别为A、B、C、D、E
由于若每天从五名员工中挑选两人值班且安排并不重复（即没有任意两天是由相同
2
的两人一起值班）的话，一共可以安排值班的天数为C5=5*4/2!=10天，而计划值班三十天，所以得出结论为五个人中每两人都要合作值班三次，方能公平合理地安排。
下表就是一张安排好的值班表： 1 A、B 7 A、C 13 B、E 19 A、D 25 B、C 2 C、D 8 B、E 14 A、D 20 C、E 26 D、E 3 B、E 9 A、D 15 B、C 21 A、B 27 A、C 4 A、D 10 C、E 16 D、E 22 C、D 28 B、E 5 B、C 11 A、B 17 A、C 23 B、E 29 A、D 6 D、E 12 C、D 18 B、E 24 A、D 30 C、E 这样的一份安排既保证了每个员工值班的总天数都同为12天，又使得每个员工两次值班间隔一天或两天，保证了每个员工都不至于因连续值班而产生疲劳，因而是一个公平、合理、科学的值班表。
练习题14：身高和鞋码的关系
你不认为“身高和鞋码之间有关系吗？”
请把你们三个班同学的身高和对应的鞋码记录下来，制成表（男生、女生分开），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。 练习题15：近几年北京市空气质量好多了!
你不认为“近几年北京市空气质量好多了吗？” 请你们寻找近几年北京市空气质量的数据，并用得到的数据找出年份和对应的蓝天数之
间的关系，用数学模型的方法表示出来。
再用你们建立的数学模型预测今年、明年北京市空气质量(主要指蓝天数)。
再用你们建立的数学模型预测一下，到那年北京市空气质量全达标(主要指蓝天数等于全年的天数)。
练习题16：为什么要更改名字？
我校为了庆祝建校30周年，在校园内立了几个雕塑，其中一个（见下图）刚立时名字叫“麦比乌斯环”，可是过了一段时间后就把名字改了，为什么要更改名字呢？
答：如下图所示为麦比乌斯环。麦比乌斯环(M bius strip, M bius band)是一种单侧、不可定向的曲面。因A.F.麦比乌斯(August Ferdinand Möbius, 1790-1868)发现而得名。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈，也称麦比乌斯带。关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色 ，即区分不出何是正面，何是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴麦比乌斯环。单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。麦比乌斯环是不可定向的。
而雕塑是具有双侧性的一般曲面，并不是麦比乌斯环，只是相似而已。因此要改名。
练习题17：学习查资料
请你们查找历年全国大学生数学建模竞赛的题目并制成一张表。
请你们查找历年参加全国大学生数学建模竞赛的学校数和队数并制成一张表。
请你们查找我校历年参加全国大学生数学建模竞赛的队数和获奖情况并制成一张表。 答：
历年全国大学生数学建模竞赛题目：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 年度 题A 题B 1992年 施肥效果分析 实验数据分解 1993年 非线性交调的频率设计 足球队排名次 1994年 山区修路 锁具装箱 1995年 一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 1996年 最优捕鱼策略 节水洗衣机 1997年 零件的参数设计 截断切割 1998年 投资的收益和风险 灾情巡视路线 1999年 自动化车床管理 钻井布局 2000年 DNA序列分类 钢管订购和运输 2001年 血管的三维重建 公交车调度 2002年 车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 2003年 SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 2004年 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理 2005年 长江水质的评价和预测 DVD在线租赁 2006年 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007年 中国人口增长预测 乘公交，看奥运 2008年 数码相机定位 高等教育学费标准探讨 2009年 制动器试验台的控制方法分析 眼科病床的合理安排 2010年 2011年 储油罐的变位识别与罐容表标定 2010年上海世博会影响力的定量评估 垃圾分类处理与清运方案设计 水资源短缺风险综合评价 21 2012年
葡萄酒的评价 太阳能小屋的设计
历年参加全国大学生数学建模竞赛的院校数和队数：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1992年：全国有74所高校314队参赛； 1993年：全国有101所高校420队参赛； 1994年：全国有196所高校876队参赛； 1995年：全国有259所高校1234队参赛； 1996年：全国有337所高校1683队参赛； 1997年：全国有373所高校1874队参赛； 1998年：全国有400所高校2103队参赛； 1999年：全国有460所高校2657队参赛； 2000年：全国有517所高校3210队参赛； 2001年：全国有529所高校3887队参赛； 2002年：全国有572所高校4448队参赛； 2003年：全国有637所高校5406队参赛； 2004年：全国有724所高校6881队参赛； 2005年：全国有795所高校8492队参赛； 2006年：全国有864所高校9985队参赛； 2007年：全国有969所高校11742队参赛； 2008年：全国有1023所高校12846队参赛； 2009年：全国有1137所高校15024队参赛； 2010年：全国有 所高校 队参赛； 2011年：全国有 所高校 队参赛； 2012年：全国有 所高校 队参赛；
我校04年以来的获奖情况： 04年 北京 甲组 二等奖
郑祥云 李金禄 郭峰 指导小组 郑增光 冯亚男 杨富禄 指导小组 05年 北京市甲组二等奖
刘芬 刘翠 黄烨 指导小组 杨富禄 郭晓 王慧 指导小组 张璐 童永琴 刘天洋 指导小组 郑祥云 李金禄 郭峰 指导小组 06年，全国甲组二等奖
宫尚宝 王文波 邹磊 指导组 07年
全国二等奖 甲组
王海英 徐婧 曹敬军 冯媛（指导教师） 北京甲组一等
金越峰 刘伟 毕壮 苏欣（指导教师） 08年 北京二等B
徐 婧 王海英 黄 帅 09年
北京一等奖
余知中 刘明珠 魏文玲 王若鹏（指导教师） 谢文凤 陈红革 王袁俊伟 指导小组 北京二等奖
陈宇宁 张连飞 陈亚 王若鹏（指导教师） 10年 北京一等奖
张鹏 尤熙 夏赞勋 指导组 11年 北京一等奖
夏赞勋 张鹏 尤熙 指导小组 练习题18：典型的数学建模例子
请你们阐述一下数学模型的概念，并提供一个在你们的专业课学习中遇到的“典型的数学建模例子”。
练习题19：椅子能在不平的地面上放稳吗？
考虑椅子的四脚呈长方形的情形。
答：模型假设: 对椅子和地面应该作一些必要的假设：
1. 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈长方形。
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即地面可视为数学上的连续曲面。
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
模型构成: 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线呈长方形，以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图2-1中椅脚连线为长方形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子绕中心点o旋转角度θ后，长方形ABCD转至A’B’C’D’的位置，所以对角线AC与x轴的夹角θ表示了椅子的位置。