北石化《数学建模入门》练习题答案(3)

2018-11-27 10:02

用变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数。

虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于长方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记A、C两脚与地面距离之和为f(θ)，f(θ) ≥0，B、D两脚与地面距离之和为g(θ)，g（θ）≥0。由假设2，f和g都是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ,f（θ）和g（θ）中至少有一个为零。当θ=0时不妨设g（θ）=0，f（θ）>0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：

命题：已知f（θ）和g（θ）是θ的连续函数，对任意θ，f（θ）·g（θ）=0，且g（0）=0。则存在θ0使得f（θ0）=g（θ0）=0。题就是本问题的数学模型。

模型求解:

设角线AC和BD间夹角为φ，则将椅子旋转φ，角线AC换至之前BD位置。由g（0）=0和f（0）>0可知g（φ）≥0和f（φ）=0。

令h（θ）=f（θ）-g（θ）。则h（0）>0和h（φ）≤0。由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在θ0（0<θ0≤φ）使h（θ0）=0，即h（θ0）=g（θ0）。

最后，因为f（θ0）·g(θ0)=0，所以f（θ0）=g（θ0）=0。因而，一定会转某个角度后四脚同时着地。

练习题20：商人们怎样安全过河？

四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢?

k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为

ykk=1,2,……,xk,yk=0,1,2,3。将二维向量Sk=（xk，yk）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。不难写出S={（x,y）|x=0,y=0,1,2,3;x=3, y=0,1,2,3;x=y=1,2} (1)

记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量dk=(uk,vk) 定义为

答：记第

决策。允许决策集合记作D，由小船的容量可知D={(u,v)|u+v=1,2} (2)

因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以两岸商人数和随从数的情况列为下表：此岸彼岸 S1=(4,4) (0,0) S2=S1-d1=(4,4)-(0,2)=(4,2) (0,2) S3=S2+d2=(4,2)+(0,1)=(4,3) (0,1) S4=S3-d3=(4,3)-(0,2)=(4,1) (0,2) S5=S4+d4=(4,1)+(0,1)=(4,2) (0,1) S6=S5-d5=(4,2)-(2,0)=(2,2) (2,0) …… …… 我们可以发现，当进行至此步时，任何决策都会使状态返回上一步造成无功而返，或者造成商人的死亡。所以四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，商人不能安全渡河，因而此题无解。

练习题21：学习检验问题

在第三章（初等模型）第三节（划艇比赛的成绩）中利用最小二乘法和表中各种艇的平均成绩检验公式t?7.21n?0.111，要求小数点后保留四位。

最小二乘法计算器

请输入参数个数：

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斜率：K=-0.10340860160545882

北石化《数学建模入门》练习题 答案(3)

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