《高等工程数学》――科学出版社版习题答案：第一章习题（P26） 1．略
2．在R4中，求向量a＝[1,2,1,1]T,在基
a1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T, a2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T
a3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。
解：其坐标为：x＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T
3．在R2
×2
中，求矩阵A=??12??，在基 03???11??11??11??10?，，，下的坐标。 B1=?B2=?B3=?B4=??????11??10??00??00?解：其坐标为：x＝( 3, －3, 2，－1 )T
×
4．试证：在R22中，矩阵
?11??11??11??10?B1=??，B2=?01?，B3=?10?，B4=?11?线性无关。
11????????证明：设 k1B1+ k2B2+ k3B3+ k4B4=?
5．已知R4中的两组基：
?00?，只要证明k1= k2 = k3= k4 =0即可。余略。 ??00??1=[1,0,0,0]T,?2=[0,1,0,0]T,?3=[0,0,1,0]T,?4=[0,0,0,1]T
和?1=[2,1,－1,1]T,?2=[0,3,1,0]T,?3=[5,3,2,1]T,?4=[6,6,1,3]T
求由基???{?1,?2,?3,?4到}基???{?1,?2,?3,?4的}过渡矩阵，并求向量
??[x1,x2,x3,x4]在基???{?1,?2,?3,?4}的坐标。
?2?1解：基???{?1,?2,?3,?4}到基???{?1,?2,?3,?4}的过渡矩阵是：??－1??1向量??[x1,x2,x3,x4]在基???{?1,?2,?3,?4}的坐标是：
031053216?6?? 1??3??2?1??－1??1031053216?6??1??3?－19－27－33??x1??12????1?112－9－23??x2?x＝
00－18??x3?27?9????－7－3926???x4?
－
6．设R[x]n是所有次数小于n的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n1
－
在基{1，(x－1)，(x－1)2，(x－1)3，….，(x－1)n1}的坐标。
1kn?1T
解：所求的坐标是：（3，2Cn?1,...,2Cn?1,...,2Cn?1）
7．已知?1=[1,2,1,0]T,?2=[-1,1,1,1]T,?1=[2,-1,0,1]T,?2=[1,-1,3,7]T， 求V1＝span{?1,?2}与V2=span{?1,?2}的和与交的基和维数。
解：V1＋V2的一组基为?1=[1,2,1,0]T,?2=[-1,1,1,1]T,?1=[2,-1,0,1]T，所以维数为3 V1∩V2的一组基是：?3?1??2?[?5,2,3,4]T，所以维数为1。
8．设T是n维线性空间V上的一个线性变换，对某个?∈V，有Tk1（?）≠0，
－
Tk（?）＝0。试证：?,T(?),T2(?),...,Tk?1(?)线性无关。
证明：设x1??x2T(?)?x3T2(?)?...?xkTk?1(?)?0………………（*）
下证x1?x2?x3?...?xk?0即可。
对（*）两边的向量作线性变换：Tk1，根据Tk1（?）≠0，Tk（?）＝0，得到
－
－
x1?0 由此（*）变为
x2T(?)?x3T2(?)?...?xkTk?1(?)?0…………….. （**）
对（**）两边作线性变换：Tk2，根据Tk1（?）≠0，Tk（?）＝0，得到
－
－
x2?0
依次进行，得到x1?x2?x3?...?xk?0，即?,T(?),T(?),...,T
2k?1(?)线性无关。
9．设n维线性空间V上线性变换T，使对V中任何非零向量?都有Tn1（?）≠0，
－
Tn（?）＝0。求T在某一基下的矩阵表示。
解：任取V中一非零向量?，因Tn1（?）≠0， Tn（?）＝0，所以由第8题的结果，有
－
?,T(?),T2(?),...,Tn?1(?)是V中的一组基。则T在此基下的矩阵：
?0,0,......,0,0???1,0,.......,0,0???0,1,.......,0,0??? .................???0,0,......,1,0???0,0,......,0,0????
10．设T是线性空间R3的线性变换，它在R3中基???{?1,?2,?3}下的矩阵表示是：
?123???A＝?103 ????215??求T在基???{?1??1,?2??1??2,?3??1??2??3}下的矩阵表示。 解：T在基???{?1??1,?2??1??2,?3??1??2??3}下的矩阵表示是：
?244???B＝?3?4?6 ????238??
11．设T在基???{?1?[?1,1,1]T,?2?[1,0,?1]T,?3=[0,1,1]T}下的矩阵表示是：
?101???A＝110 ?????121??（1） 求T在基???{?1?[1,0,0],?2?[0,1,0],?3=[0,0,1]}下的矩阵表示。 （2） 求T的核和值域。
（3） 求T的特征值和特征向量。
解：（1）T在基???{?1?[1,0,0],?2?[0,1,0],?3=[0,0,1]}下的矩阵表示是：
TTTTTT??110??101???11?1???11?2????110??01?1???220?
01B＝1??????????1?11?????121????101????302??（2）核空间N（T）＝{(0,0,0)T}
值域 R（T）＝R3。
（3）特征值为：?1?2,?2?(1?7i)/2,?3?(1?7i)/2
对应的特征向量是：
??3?7i???3?7i??0???????x1??2?,x2??4x?4?3??
?1?????66??????
333
12．求矩阵A的列空间R（A）＝{y∈R|y＝Ax，x∈R}和核空间N（A）＝{x∈R|Ax＝0}。其中：
?0?116???1??（1）A＝042 （2）A＝????3??116????0?1??1?????解：（1）列空间为R（A）＝span{?0?,?4?}，
?1??1???????11??? 核空间为N（A）＝span{??1?}
?2???2?4??45?? 17??5?10??0??2??????1?4（2） 列空间为R（A）＝span{??,??}，
?3??1??????0??5???3??? 核空间为N（A）＝span{?2?}
?1???
13．设V是一线性空间。线性变换T在基???{?1,?2,?3}???{?1,?2,?3}是V的一组基 ，在的矩阵B分别如下，求T的特征值和特征向量，并判断T是否可对角化。
21??010??011??001??0??????（4）?－203? （1）－440, (2)101 ,（3）010，
?????????????110???100???－216???－1－30??解：（1）特征值为：
?1??2??3?2
?1??0????? 特征向量是： x1??2?,x2??0? 不可对角化
?0??1?????（2）特征值为：?1?2,?2??3??1
?1???1??0???????特征向量是： x1??1?,x2??0?,x3???1? 可对角化
?1??1??1???????（3）特征值为：?1??1,?2??3?1
?1??1??0???????特征向量是： x1??0?,x2??0?,x3??1? 可对角化
??1??1??0???????（4）特征值为：?1?0,?2?14i,?3??14i 特征向量是： 略 可对角化
14．略
115．设欧氏空间P2（t）中的内积为?f,g???f(t)g(t)dt
0（1）求基{1，t，t2}的度量矩阵。
（2）采用矩阵形式计算f（t）＝1－t＋t2与g（t）＝1－4t－5t2的内积。 （3）用Schmidt正交化方法求P2（t）的标准正交基。 解：
11（1） ?1,1???1dt＝， 1?1,t???tdt＝，?1,t2???t2dt＝，23000111 ?t,t???t2dt＝，?t,t2???t3dt＝，?t2,t2???t4dt＝，345000所以度量矩阵为
111111