??1??1?2??1??3??1?1（2）?f,g??(1,?1,1)??2??1??3（3）
1213141?3??1? 4??1?5??1213141?3??1??1????4???9 ?44?????51???5??
?1?1,?2?t??1,t??t?12,??2,?2??112?2?23(t?)?3?t2??t2,?1??1??t2,?2??2?t2?t?11801?3?（t2?t?）656??3,?3??
1216?1?1,所以标准正交基是：?2?23(t?)1
21?3?（t2?t?）656《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章） P50
1． 求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化
?1－10??0－1－1??411????? （3）?030?
1（1）020 （2）12?????????3??112???21??－102??解：（1）特征值：
?1＝1(代数重数和几何重数均为1)，?2＝?3＝2(代数重数和几何重数均为2)
可对角化。
（2）特征值：
?1＝1(代数重数和几何重数均为1)，?2＝?3＝2(代数重数为2和几何重数为1)
不可对角化。 （3）特征值：
?1＝?2＝?3＝3(代数重数为3、几何重数均为1)
不可对角化。
2． 求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan标准形
?1
7－3??3?411??0
??（2）?030? （3）?2（1）－2－5?????0????－4－103－102??????0
21003210
?34??1??3?
（4）?02??0??1???000300?0??01－10?
?0020?0112??00解：（1）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝(?-1)(?-i)(??i)
初等因子是：(?-1),(?-i),(??i)
?100???Jordan标准形是：0i0 ????00?i??3（2）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝(?-3)
初等因子是：(?-3)
3?310???Jordan标准形是：031 ????003??
4（3）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝1,d4＝(?-1)
初等因子是：(?-1)
4?1
?0
Jordan标准形是：?
?0??0
11000110
0?0?? 1??1?
（4）不变因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝1,d4＝(?-2)（?-3），d5＝(?-1)(?-2)（?-3）