11．z?211； ?i；222
12．x2?y2?12x?4?0；一个圆； 14．?3;17．
3； 313．55；192； 15．
4； 7 16．22；
3． 216．提示：设?b,c???,2|b?c|?b?c?4|b|2?8b?c?4|c|2?(b?c)2， 即4|b|2sin2??16|b|cos??16?0?4cos??|b|sin2??所以?max?4|b|?4sin?．
?4，此时|b|?22．
17．提示：令|PM|2?|PN|2?t（t为常数），设M(x1,11x1),N(x2,?x2)， 225由平行四边形知识，|PM|2?|PN|2?|OM|2?|ON|2?(x12?x22)?t．
411设点P(x,y)，因为OP?OM?ON?(x1?x2,x1?x2)．
22?x?x1?x238?22所以?． ?x2?4y2?2(x1?x2)?t，此方程即为椭圆方程，即e?1125?y?x1?x222?
三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本题14分）
已知函数f?x??cos(2x??)?3(sinx?cosx)2． 3（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C，若a?2，c?7，
f(?4?C)?3，求b的值． 213?cos2x?sin2x?3(1?sin2x)?sin(2x?)?3， 226解答：（Ⅰ）f(x)?所以，f(x)的最大值为1?3，T??．
（Ⅱ）因为f(?4?C???)?sin(?C?)?3?cos(C?)?3?3， 2266?cos(C??6)?0?C??3．
由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC可得：b2?2b?3?0，
因为b?0，所以b?3．
19．（本题15分）
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PCD为正三角形且二面角P?CD?A为60?．
（Ⅰ）设侧面PAD与PBC的交线为m，求证：m//BC； （Ⅱ）设底边AB与侧面PBC所成角的为?，求sin?的值．
解答：（Ⅰ）因为BC//AD，所以BC//侧面PAD． 又因为侧面PAD与PBC的交线为m，所以m//BC．
（Ⅱ）解法一：向量方法
取CD中点M、AB中点N，连PM、MN， 则PM?CD、MN?CD．
所以?PMN是侧面PCD与底面成二面角的平面角． 从而?PMN?60?．
作PO?MN于O，则PO?底面ABCD． 因为CM?2，PM?23，
zPDMOCyBA
所以OM?3，OP?3．
xN（第19题）
以O为原点，ON为x轴，OP为z轴，如图建立右手空间直角坐标系． 则AB?(0,4,0)，PB?(4?3,2,?3)，PC?(?3,2,?3)． 设n?(x,y,z)是平面PBC的法向量，
??(4?3)x?2y?3z?0则??x?0，2y?3z．取n?(0,3,2)． ???3x?2y?3z?0则sin??|cos?n,AB?|?解法二：几何方法
取CD中点M、AB中点N，连PM、MN，则PM?CD、MN?CD． 所以?PMN是侧面PCD与底面成二面角的平面角．
1213?4?313． 13PDMC从而?PMN?60?．
作PO?MN于O，则PO?底面ABCD． 因为CM?2，PM?23，所以OP?3． 作OE//AB交BC于E，连PE． 因为BC?PO，BC?OE，
所以BC?平面POE．从而平面POE?平面PBC． 所以?PEO就是OE与平面PBC所成的角，?POE??． 在△POE中，tan??
20．（本题15分）
ex?2已知函数f(x)?．
x313PO3． ?．故sin??13OE2（Ⅰ）求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）证明：f(x)仅有唯一的极小值点.
ex(x?1)?2解答：（Ⅰ）因为f?(x)?，所以k?f?(1)??2．又因为f(1)?e?2， 2x所以切线方程为：y?(e?2)??2(x?1)，即2x?y?e?4?0．
（Ⅱ）令h(x)?ex(x?1)?2，则h?(x)?ex?x， 所以x?(??,0)时h?(x)?0，x?(0,??)时h?(x)?0． ① 当x?(??,0)时，易知h(x)?0，
所以f?(x)?0，f(x)在(??,0)上没有极值点．
② 当x?(0,??)时，因为h(1)??2?0,h(2)?e2?2?0， 所以f?(1)?0,f?(2)?0，f(x)在(1,2)上有极小值点．
又因为h(x)在(0,??)上单调递增，所以f(x)仅有唯一的极小值点.
21．（本题15分）
点P(1,1)为抛物线y2?x上一定点，斜率为?（Ⅰ）求弦AB中点M的纵坐标;
（Ⅱ）点Q是线段PB上任意一点（异于端点），过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两
1的直线与抛物线交于A,B两点. 2yPQE点，求证：|QE|?|QF|?|QP|?|QB|为定值. 解答：（Ⅰ）kAB?yA?yB11???（*）
xA?xByA?yB2所以yA?yB??2，yM?yA?yB??1. 2（Ⅱ）设Q(x0,y0)，直线EF：x?x0?t1(y?y0)，
??x?x0?t1(y?y0)联立方程组?2?y2?t1y?t1y0?x0?0，
??y?x所以yE?yF?t1,yE?yF?t1y0?x0，
|QE|?|QF|?1?t1|yE?y0|?1?t1|yF?y0|?(1?t1)|y0?x0|，
2222同理|QP|?|QB|?(1?t22)|y02?x0|. 由（*）可知：t1?1kEF?11?yA?yP，t2??yB?yP kPAkPB所以t1?t2?(yA?yB)?2yP??2?2?0，即t1??t2?t12?t22 所以|QE|?|QF|?|QP|?|QB|，即|QE|?|QF|?|QP|?|QB|?0
22．（本题15分）
已知数列{an}满足a1?123，an?1?(1?n)an?(n?N?)
n(n?1)32（Ⅰ）判断数列{an}的单调性； （Ⅱ）证明：
an?112?1?n?(n?2)； an3n(n?1)3（Ⅲ）证明：an?3e. 解答：（Ⅰ）因为an?1?an?123n?1a?．当时，a??0． n1n(n?1)23n12)a??0． kk(k?1)3k假设n?k时，ak?0，所以n?k?1时，ak?1?(1?从而对于一切n?N?，an?0． 所以an?1?an?12a??0，即数列{an}单调递增 ． nn(n?1)3n（Ⅱ）证明：因为a1?3，所以a2?3． 2又因为由（Ⅰ）可知an?1?an，所以n?2时an?3．