*例10 在等式35×（ ）×81×27=7×18×（ ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）
解：将已知等式的两边分解质因数，得：
5×37×7×（ ）=22×36×7×（ ）
把上面的等式化简，得：
15×（ ）=4×（ ）
所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。
15×（4）=4×（15）
答略。
*例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）
解：把84分解质因数：
84=2×2×3×7
除了1和84外，84的约数有：
2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。
因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。
答略。
*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度） 解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。
14=2×7 143=11×13
30=2×3×5 169=13×13 33=3×11 4445=5×7×127 75=3×5×5 4953=3×13×127
在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。
在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。
按这个要求每一组四个数的积应是：
2×7×11×127×3×3×5×5×13×13
因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。
答略。
*例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）
解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：
x（x+6）= 315
x（x+6）=3×3×5×7 =（3×5）×（3×7） x（x+6）=15×21 x（x+6）=15×（15+6） x=15 x+6=21
答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。
*例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）
解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：
（x-1）×x×（x+1）
=210 =21×10 =3×7×2×5 =5×6×7
比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。 答：这三个连续自然数分别是5、6、7。
*例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）
解：把1440分解质因数： 1440= 12×12×10 =2×2×3×2×2×3×2×5
=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5） =8×9×20
如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则： 8×9=72， 20×3+12=72 正符合题中条件。
答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
*例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）
解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：
33×1000+32×10=27090
把27090分解质因数：
27090=43×7×5×32×2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：
43×14×9×5
这个质因式中14就是9与5之和。
所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。
43-9=34（岁）
答：母亲在34岁时生下第二个儿子。
第三十二讲 最大公约数法
通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）
解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：
2×3=6
42和48的最大公约数是6。 答：每个小组最多能有6名学生。
例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度） 解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：
2×3×5=30
150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。
所以，这个长方形能分割成正方形：
5×2=10（个）
答：能分割成10个正方形。
例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度） 解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5×5=25
325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。