令抛物线解析式中y=0，得到ax+bx+c=0，∵方程的两根为x1，x2，且-∴x1+x2=-
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bb =1，及- =2，2aab =2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C a2
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax+bx+c（a≠0），a的符号由开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置确定，抛物线与x轴交点的个数决定根的判别式的符号．
（2012·哈尔滨，题号24分值 6）
小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条
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边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?
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【解析】本题考查确定函数解析式，二次函数最值.三角形的边x和高的和是40，可表示该边上的高位40-x，根据三角形面积公式是底乘高除2可写出S=的顶点坐标分别对应x及S的最大值. 【答案】解：（1）S=
1×x(40-x),这个二次函数211×x(40-x)= ?x2+20x；
224ac?b2b （2）x=?=20,S==200,
4a2a所以当x=20cm时，这个三角形的面积最大，最大面积是200cm.
【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的最值问题，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题．要注意解题过程的完整性.
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（2012·哈尔滨，题号8分值 3）将抛物线y=3x向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )．
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(A)y=3(x+2)—1 (B)y=3(x-2)+1 (C)y=3(x-2)—1 (D)y=3(x+2)+l 【解析】本题考查了函数图象的平移规律．抛物线的平移规律是：左右平移自变量左加右减，上下平移常数上加下减来进行．对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可． 【答案】A
【点评】（1）受点的平移规律影响，误认为左右平移时自变量“左减右加”而误选B；（2）
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将3x误认为是自变量，得出错误答案：y=3x+2-1=3x+1．
（2012·哈尔滨，题号10分值 3）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )．
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1 x十12(0 2(A)y=一2x+24(0 【解析】本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围．AB+CD+BC=24，即2AB+x=24,2y+x=24，所以y=12- 1x．因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x(BC)只要小2于24即可，又边长大于零，所以x取值范围0＜x＜24,故选B． 【答案】B 【点评】根据矩形的周长公式本题易得解，但要注意矩形的第四边的特殊要求。 （2012河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据， 薄板的边长（cm） 出厂价（元/张） 20 50 30 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。 ①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。 ②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？ ?b4ac?b2?参考公式：抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是???2a,4a??。 ??2【解析】（1）根据每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，设出出厂 价的表达式（为一次函数）再根据表格中的数据，求出解析式。（2）根据利润=出厂价-成本价，列出利润的关系式，为二次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大？最大利润是多少？但是需要验证顶点的横坐标在不在x的取值范围内。 【答案】解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元， 则y=kx+n????????????2分 由表格中数据得??50?20k?n?k?2 解得? ∴y=2x+10 ?70?30k?n?n?10（2）①设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得 P=ｙ－ｍｘ2＝2x+10-mx2 将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26=2?40?10?m?40 解得m=∴P??21 2512x?2x?10 25②∵a??b1?0 ∴当x????252a212?(?)25?25（在5~50之间）时， P最大值?1?24?????10?224ac-b?25????35 4a?1?4?????25?即出厂一张边长为25cm的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元 【注：边长的取值范围不作为扣分点】 【点评】本题是一次函数、二次函数的用，①求表达式，②求极值。一次函数求极值是根据y随x的增大而增大还是缩小；二次函数的极值分为两部分：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考查的重点内容。教学时要多加注意。难度中等。 （2012黑龙江省绥化市，23，6分）如图，二次函数y?ax?4x?c的图像经过坐标原点，与x轴交与点A(-4，0)． （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点P，满足S?AOP?8，请直接写出点P的坐标． 2 【解析】解：（1）把点A（-4,0）及原点（0,0）代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； ?c?0?a??1解得? ?2c?0（-4）-4?（-4）+c=0??a?所以，此二次函数的解析式为y=-x2-4x； （2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．由已知条件得（2）∵点A的坐标为（-4，0）， ∴AO=4， 设点P到x轴的距离为h， 则S△AOP=1×4h=4，解得h=4， 2① 当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，解得x=-2，所以，点P的坐标为（-2，4）； ② 当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，解得x1=-2+22，x2=-2-22 所以，点P的坐标为（-2+22，-4）或（-2-22，-4）， 综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+22，-4）、（-2-22，-4）． 【答案】⑴y??x2?4x ；⑵点P的坐标是：（-2,4）、（-2+22，-4）、（-2-22，-4）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．难度中等． （2012四川宜宾，8，3分）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点， 且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线。有下列命题： 1①直线y=0是抛物线y=x2的切线； 41②直线x=-2与抛物线y=x2相切于点（-2,1）； 41③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2,1）； 41④直线y=kx-2与抛物线y=x2相切，则实数k=2； 4其中正确命题的是（ ） A.①②④ B.①③ C.②③ D.①③④ 【解析】 根据二次函数的性质与根的判别式对各小题进行逐一分析即可． 解：①∵直线y=0是x轴，抛物线y=x的顶点在x轴上，∴直线y=0是抛物线y=x的切线，故本小题正确； ②∵抛物线y=x的顶点在x轴上，开口向上，直线x=2与y轴平行，∴直线x=﹣2与抛物线y=x 相交，故本小题错误； ③∵直线y=4x+b与抛物线y=x相切，∴x﹣4x﹣b=0，∴△=16+4b=0，解得b=﹣4，把b=﹣4代入x﹣4x﹣b=0得x=2，把x=2代入抛物线解析式可知y=1，∴直线y=x+b与抛物线y=x相切，则相切于点（2，1），故本小题正确； 22222222④∵直线y=kx﹣2与抛物线y=x 相切，∴x=kx﹣2，即x﹣kx+2=0，△=k﹣2=0，解得k=±，故本小题错误． 故选B． 【答案】B 【点评】本题考查的是二次函数的性质及根的判别式，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． （2012甘肃兰州，27,10分）若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1?x2??2222bc,x1?x2?.把它们aa称为一元二次方程根与系数关系定理。如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为： b24cb2?4acb2?4acAB?x1?x2?(x1?x2)?4x1x2?(?)??? aaa2a2参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形． （1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b?4ac的值； （2）当△ABC为等边三角形时，求b?4ac的值． 22第27题 解析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作 b2?4acCD⊥AB于D，则AB=2CD．根据本题定理和结论，得到AB?，根据顶点坐标公b式，得到 4ac?b2b2?4ac2，列出方程，解方程即可求出b?4ac的值； CD??4a4a（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACD，得CD?3AD?解方程即可求出b?4ac的值． 23AB，据此列出方程，2