板块二.空间向量的坐标运算
典例分析
π3【例1】 空间四边形OABC中，OB?OC，?AOB??AOC?（ ） A．
12，则cos?OA，BC?的值是
???????? B．
22 C．?12 D．0
??????【例2】 已知a?(2，?1，3)，b?(?1，4，?2)，c?(7，5，?)，若a，b，c三向量共面，则?等
于（ ） A．
627647657 B．9 C． D．
??【例3】 设u?(?2，、2，5)v?(6，?4，4)分别是平面?，?的法向量，则平面?,?的位置关
系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
???????????????【例4】 设OA?a，OB?b，OC?c，则使A、B、C三点共线的条件是 （ ）
A．c?a?b B．c?
?15????1?1?a?b 23C．c?3a?4b D．c?4a?3b
??????【例5】 已知a?(1，0，2)，且ka?b与2a?b垂直，则k的值为（ ） 1，0)，b?(?1，A．
B．1
C．
53?????D．
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【例6】 已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，给出下列两个命题：
AB?CD?AC?BD?AD?BC； ①
2222|AB?AC?AD|?|AB|?|AC|?|AD|． ②
????????????????????????????????????????????????则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为（ ） A．①假、②假 B．①真、②假
1
C．①真、②真 D．①假、②真
【例7】 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ） A． 直线 B． 圆 C． 双曲线 D． 抛物线
D1A1B1DABPCC1
【例8】 如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧
面PAD?底面ABCD．M为底面ABCD内的一个动点，且满足PM?MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ） DMABACDMBACDMBACDMBCA
?BCD
【例9】 已知a?(，1，1，0b)?，，(，0c1?，1，)??p?q?_______．
??，p?a?b，q?a?2b?c???????，则
?c?1,【例10】 若向量a??1,0,2?，b??0,2,1?确定平面的一个法向量n??x,y,2?，则向量
????21,2?在n上的射影的长是________．
?
????60°?【例11】 设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是，且|a|5???????那么(a?3c)?(3b?2a)?______，|2a?b?3c|?_________．
?|b|?3，?|c|?8，
，
??????????)?b(ca?)【例12】 已知向量a和c不共线，向量b?0，且(a?bc
【例13】 已知点
2
????，d?a?c???b??，则?d， ．
????3，5)，(1，?1，?7)，则向量ABA，B的坐标分别为(?2，的相反向量的坐标
是__________．
【例14】 已知a?(2，4，5)，b?(3，x，y)，若a∥b，则x?_____，y?______．
【例15】 已知向量
?????a?(??1，0，?2，)?b?(6，2??1，2)，若
??a∥b，则??______，
?? ．
【例16】 若A(m?1，n，m?2n)，C(m?3，n?1，3)，B(2m，n?3，9)三点共线，则
m?n? ．
【例17】 已知向量
??a?b??a?(2m，，m2，)?b?(m，m?1，?5)，若
?a，
?b垂直，则
_____________．
?????【例18】 已知a?(2，4，x)，b?(2，y，2)，若|a|?6，且a?b，则x?y?_________．
?【例19】 已知|a|?2??，|b|?3，且a?与b的夹角为
π2???????，c?3a?2b，d?ma?b???，若c?d，
则m?_____．
????????【例20】 已知a?(2，2，1)，b?(4，5，3)，n?a?n?b?0，且|n|?1，则n?______．
????????????O为坐标原点，【例21】 已知OA?(1，点QOB?(2，1，2)，OP?(1，1，2)，2，3)，
????????上运动，则当QA?QB取得最小值时，点Q的坐标为___________．
在直线OP
【例22】 若A?1，?2，1?，B?2，2，2?，点P在z轴上，且PA?PB，则点P的坐标
为 ．
【例23】 已知?ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，?3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中
线长为（ ）
A．2 B．3
_______．
C．4
D．5
【例24】 已知空间两个动点A(m，1?m，2?m)，B(1?m，3?2m，3m)，则|AB|的最小值是
???? 3
【例25】 设|a|?1，|b|?2，且a，_____，b的夹角为120°，则(a?b)?(a?2b)???|2a?b|?????????_______．
【例26】 若a，b均为单位向量，且?a，b??60°，则a?3b?_______；
????????????【例27】 已知|a|?1，|b|?1，|3a?2b|?3，则|3a?b|? ．
????【例28】 已知向量a?(0，1，?2)，则a与b的夹角为（ ） 2，1)，b?(?1，A．0° B．45° C．90° D．180°
??【例29】 已知向量a?(0，3，3)，b?(?1，1，0)，则a与b的夹角为_________；
??【例30】 已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向量，m?a?b，n?b?c，则m与n的夹
角为 ．
????【例31】 已知向量a?(0，2，1)，b?(?1，1，?2)，则a与b的夹角为_________．
【例33】 若向量a?(1， ?，2)，b?(2，b夹角的余弦值为，则??_________．?1，2)，a，9???????????????????????【例32】 若(a?3b)?(7a?5b)，且(a?4b)?(7a?5b)，则a?与b的夹角为________．
???8 ????【例34】 已知向量a?(2，?3，0)，b?(k，0，3)，若a与b成120?角，则k?_____．
【例35】 已知向量
????a?(1，1，0)，b?(?1，0，2)，且ka?b??与2a?b互相垂直，则k的值是
_________．
???b，c【例36】 已知a，????是空间中两两垂直的单位向量，m?a?b???，n?b?c??，则m?与n的夹
角为 ．
????????【例37】 已知A(2，则向量AB与AC的夹角为________； ?5，1)，B(2，?2，4)，C(1，?4，1)，
4
【例38】 设|m|?1，|n|?2，2m?n与m?3n垂直，a?4m?n，b?7m?2n，则|a|?_____，
?|b|???????????????????______，?a，b?? ．
??
【例39】 已知O为原点，向量
????AC?????????????????????????OA?(3，0，1)，OB?(?1，1，2)，OC?OA，BC∥OA，则
________．
【例40】 已知PD垂直正方形ABCD所在平面，AB?2，E是PB的中点，
????????3cos?DP，AE??3．以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空
间坐标系，则点E的坐标为 ；
又在平面PAD内有一点F，当点F是 时，EF?平面PCB．
【例41】 已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc?0，求平面ABC的一个法向
量．
【例42】 已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，?1，5)，
????????⑴求以向量AB，AC?⑵若向量a为一组邻边的平行四边形的面积S；
垂直，且|a|?3，求向量a的坐标．
??????????分别与向量AB，AC
【例43】 已知a?(1，1，6)，b?(2，2，0)，
⑴求a?b，a?b，?a，b?； ⑵求与a，b同时垂直的单位向量．
???⑶当实数的值为多少时，a??b的模最小．
??????????
????????AD?(4,2,0)，AP?(?1,2,?1)．
????⑴求证：AP是平面ABCD的法向量；⑵求平行四边形ABCD【例44】 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，AB?(2,?1,?4)，
????的面积．
【例45】 已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求证：A，B，C，D共面．
?2，0)，b?(?1，1，2)， 3，?2)，c?(0，【例46】 已知a?(5，???⑴求(a?b)?(b?2c)，|a?2b?2c|；
5
???????