《分式方程》
一、课标要求
1、了解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程。 2、了解产生增根的原因，会检验一个数是不是分式方程的增根。
3、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。 4、通过实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的思想，培养我们努力寻找解决问题的方法的进取心，体会数学的应用价值。
一、知识网络
二、知识要点回顾 1、分式方程的概念
分式方程是分母中含有未知数的方程。
①分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方
x2
?1和x=1是不同的方程，前者是分式方程，后者是整式方程(一元一次方程的依据，如x
程)。
②判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母。如方程
x?1（a是常数，且a≠0，x是未知数）就不是分式方程。 a2、分式方程的解的意义
使分式方程左右两边相等的值叫做分式方程的解，也可以叫做根。
注意：①由于分式方程都可以化为一元一次的整式方程，故它的解至多一个，也可能无解；②可用代入法检验一个数是否是分式方程的解，或进一步确定待定常数。
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3、如何解分式方程？
（1）解分式方程的基本思想———“转化”思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。
（2）解分式方程的步骤：
分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的。主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根。
4、去分母的技巧
去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母；当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母。
5、“增根”是怎样产生的？
解分式方程时，由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母(含未知数的整式)，得到了一个整式方程，从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了。对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义。所以分式方程不允许末知数取那些使分母的值为零的值。即分式方程本身隐含着分母不为零这一条件，当我们通过去分母把分式方程转化为一元一次方程时，这种限制被取消了，于是就可能出现使原分式方程的分母为零的根，即“增根”。因此，在解分式方程时必须验根。
6、验根的方法：
因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的。验根的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，如果使最简公分母为零，那么这个解就是原方程的增根，故必须舍去。这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误。 7、注意的问题：
①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤。
②用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项。
③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程的必要步骤。
8、列分式方程解应用题的方法步骤：
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（1）审：弄清题中涉及哪些量？已知量和未知量各有几个？量与量之间的基本关系是什么？
（2）设：设恰当的未知数；设未知数，找出尽可能多的相等关系，用含有未知数的代数式表示其他未知量。注意，所设未知量的单位要明确。
（3）列：抓住题中含有相等关系的语句，将此语句抽象为含有未知数的等式，这就是方程．
（4）解：求出所列方程的解；
（5）验：用分式方程解决实际问题时，必须进行检验。这里的检验应包括两层含义，第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是否符合实际问题的题意。
（6）答：写出答案。 三、思想方法： 类比和转化的思想。 四、常见误区提示 （一）忽视检验 例1 解方程
236??2 x?1x?1x?1错解：去分母，得2(x?1)?3(x?1)?6
解这个整式方程，得x?1 所以，原方程的解为x?1
点评：错误的原因就是没有验根，这是与解整式方程最大的区别，也是同学们最容易出现错误的地方，大家应该引起注意。
正确解答：在添加检验这一环节就可以拉。
经检验，得：x?1能够使原方程的分母得0，所以，x?1是增根，舍去，故原方程没有实数根。
（二）检验方法不正确 例2 解方程
236??2 x?1x?1x?1错解：去分母，得2(x?1)?3(x?1)?6 解这个整式方程，得x?1
检验：把x?1代入2(x?1)?3(x?1)?6中，
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左边=2?(1?1)?3(1?2)?6=右边 所以，x?1是原方程的解。
点评：本解答看似进行了验根，但由于验根的方法不对，应把所求得的整式方程的根代入所乘的最简公分母或代入原方程中去，而不能代入由分式方程化简后得到的整式方程中去检验。
正解解答：去分母，得2(x?1)?3(x?1)?6 解这个整式方程，得x?1
检验：把x?1代入原方程，原方程无意义，故x?1是增根，原方程无解。 （三）忽视分子为零 例3 解方程
3412??? x?2x?1x?4x?3错解：方程两边分别通分并整理，得
5?x5?x?
x2?3x?2x2?7x?12由于等式左右两边都是分式，而且这两个分式的分子相等，所以分母也应该相
等，故有x?3x?2?x?7x?12
225 25检验：把x?代入原方程，原方程左、右两边的值相等，
25所以，x?是原方程的根．
2解之，得x?点评：两个分式相等，可能是分子、分母分别相等，还可能是分子的值等于零（此时，分母的值可以相等，也可以不相等）。上面的解答就忽视了“分子为零”这种情况，从而导致了失根。
正解：方程两边分别通分并整理，得
5?x5?x?． 22x?3x?2x?7x?12当5?x?0时，得x?5；
22当5?x?0时，则有x?3x?2?x?7x?12．
解之，得x?5． 2 4
经检验知x?5，x?（四）考虑问题不全面
5都是原方程的根。 2例4 若关于x的分式方程A．m??1
B．m?1
m?1?2的解为正数，则m的取值范围是（ ） x?1C．m?1且m??1
D．m??1且m?1
错解：把方程的两边同时乘以x?1，得：m?1?2(x?1) 解这个方程，得x?m?1 2m?1＞0，则m＞－1 2 因为方程的解为正数，所以
故当m＞－1时，原方程的解为正数． 点评：以上错解没有考虑x?的范围内排除能使x?m?1是否为原方程的增根的情况，我们应当从m＞－12m?1为增根的m的值。 2正解：把方程的两边同时乘以x?1，得：m?1?2(x?1)
解这个方程，得x?m?1． 2m?1=1时，得 m=1 2∵ 原方程的增根只能是x=1，当所以，当m=1时，x?m?1才是原方程的根． 2又因为原方程的解为正数， 所以，
m?1＞0，则m＞1 2 综上所述，当m??1且m?1时，原方程的解为正，故选择D。
（五）没有真正理解分式方程有“增根”的含义
ax?1－1=0有增根，则a的值为 。 x?1?2错解：原方程可化为 （a－1）x+2=0，所以，x=
a?1例5 若关于x的方程
因为，方程有增根，所以x≠1， 即
?2≠1，所以，a≠－1 a?1分析：方程有增根应是分母为0的x值，即x=1，而不是x≠1。 正确解答：原方程可化为 （a－1）x+2=0，
而原方程的增根为使x－1=0的x的值，
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即x=1，把x=1代入得a=－1
点评：当我们通过去分母把分式方程转化为一元一次方程时，出现了使原分式方程的分母为零的根，即“增根”，因此，在解答有关“增根”问题时，应该把增根的值代入原分式方程的分母中来解答。
（六）去分母时漏乘不含分母的项 例6 解方程
x3?2? x?3x?3错解：去分母，得x=2+3， 即x=5
检验：当x=5时，x-3≠0．所以x=5是原方程的根。 点评：去分母时，整数2漏乘最简公分母x-3。 正确解答：去分母，得x=2(x-3)+3,x=2x-6+3 解这个方程得x=3
把x=3代入x-3=0，
∴x=3是原方程的增根。所以原方程无解。 （七）解分式方程错符号 例7 解方程
116?x??2 2?xx?23x?12 错解：方程两边同乘以最简公分母3（x+2）（x－2），得：3（x+2）=3（x＋2）-6-x，以下步骤略。
点评：去分母时有两处错误：方程左边一项方程右边第二项?1乘以3（x+2）（x－2）应等于－3（x+2）；2?x6?x乘以公分母后应等于－（6－x）=－6+x 。 23x?126．经7 正确解答：去分母，得：－3（x+2）=3（x+2）－6+x，整理，得；7x+6=0，解得：x??检验，x??6是原方程的解。 7（八）在列分式方程解应用题时，有时分不清数量之间的大小关系或检验方法不正确而导致列错方程或解答错误。 举例略。
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