2根据对数函数的单调性，可得lg(SnSn?2)?lgSn即?1lgSn?lgSn?22?lgSn?1成立
(2)不存在常数C使等式成立。 证法一：因为要使
1[lg(Sn?C)?lg(Sn?2?C)]?lg(Sn?1?C)成立，则有
2
???(SC)(S?(S2n?n?2?C)n?2?C)?
?Sn?C?0若q?1则(Sn?C)(Sn?2?C)?(Sn?1?C)2
?(naC)[(n?2)a221?1?C]?[(n?1)a1?C]??a1?0 ?(S2n?C)(Sn?2?C)?(Sn?1?C)，即不存在正数Ｃ使结论成立
若q?1 ?(Sn?C)(Sn?2?C)?(S2n?1?C)
1?qn)n?2an?1?[a1(1(1?q)21?q?C][a1(1?q)1?q?C]?[1?q?C]
??ann1q[a1?C(1?q)]且a1q?0，?只能有a1?C(1?q)?0 ?C?a11?q；?C?0，a1?0，?0?q?1
n当0?q?1时，Sa1a1qn?0不可能满足0，即不存在在常数1?q??1?q?Sn?C?综合上面的证明可见不存在常数C?0，
使等式1[lg(lg(2Sn?C)?Sn?2?C)]?lg(Sn?1?C)成立。
还可以直接用反证法证明：
证法二：假设存在常数C>0，使等式能够成立,则有
?Sn?C?0(1)?
?Sn?1?C?0(2)??S n?2?C?0(3)??(Sn?C)(S2n?2?C)?(Sn?1?C)??(4)由(4)可得：S2nSn?2?Sn?1?C(Sn?Sn?2?2Sn?1)(5)
由平均值不等式可知Sn?Sn?2?2Sn?1?(Sn?C)?(Sn?2?C)?2(Sn?1?C)?2(Sn?C)(Sn?2?C)?2(Sn?1?C)?0
?C?0?C(Sn?Sn?2?2Sn?1)?0
C?0使结论成立。
而由(I)可知SnSn?2?Sn?1?0?等式(5)不可能成立2
这个矛盾说明不存在常数C?0，使等式112[lg(Sn?C)?lg(Sn?2?C)]＝lg(Sn?1?C)成立。
【例4】 (1990年)设f(x)?lg[1?2x???(n?1)x?nxa]，其中a是实数，n是任意给定
n的自然数，且n?2。
(1)如果f(x)当x?(??，时有意义，求a的取值范围。 1］(2)如果a?(0，1]，证明2f(x)?f(2x)当x?0时成立。 解：(I)?xf(x)当x?(??，1]时有意义，
xx?1＋2??(n?1)?na?0，x?(??，1]，n?2，
x??1?x?2?x?n?1??即a????????????1]??，x?(??，nnn??????????
?K??－?(K?1，2，?，n?1)在(??，1]上都是增函数?，?n?x
x??1?x?2?x?n?1??????????????1]上也是增函数，??在(??，nnn??????????
1n?1??122故它在x＝1时取得最大值，－????????n??nnn(n?1)n??12(n?1)
?a??12(n?1)；?a的取值范围为1???a|a??(n?1)?
2?? (2)证法一：
xx根据f(x)的定义可知 2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0 即 [1?2???(n?1)
＋nxa]2?n[1?22x???(n?1)2x?n2xa]，a?(0，1]，x?0 下面用数学归纳法证之。 A. 设n=2时若
0?a?1，x?0则(1?2a)x2(1)
?1?2?2a?2x2xa2?2(1?22xa)?2(1?222xa)，即(1)成立。
若a?1，x?0，因为1?2x，
?(1?2)x2?1?2?2?2x2x?2(1?22x)?当n?2时，(1)式成立
B. 设n?K时(K?2)，有不等式[1?2x???(K?1)x?Kxa]2?K[1?22x ＋?＋(k?1)2x?K2xa]，其中a?(1，1]，且x?0
则若0?a?1且x?0时xx
x2[(1?2???K)?(K?1)a]?(1?2???K)?2(1?2???K)(K?1)axx2xxx
＋(K?1)2xa2
?K(1?22x???K2x)?2(1?2???K)(K?1)a?(k?1)xxxxxx2xa2
xx2x?K(1?22x???K2x)?[2?1?(K?1)a?2?2(K?1)a???2K(K?1)a]?(K?1)a2
2x?K(1?22x???K2x2x)?[1?(K?1)2x?2xa]?[2a] a]
2222x?(K?1)2xa???[K22x?(K?1)2xa]?(K?1)2?a2?(K?1)[1?2???K?(K?1)2x?(K?1)[1?22K???K2x?(K?1)2x即当n?K?1时，(1)也成立。
数n?2，都有(1)成立，
由A，B的证明可知对任意自然即2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0成立
证法二：
xxx22x2x2x只需证明n?2 时，[1?2???(n?1)?na]?n[1?2???(n?1)?na]，a?(0，1]，
x?0，
?(a1?a2???an)2222?(a1?a2???an)?2(a1a2?a1a3???an?1an)22222222222
?(a1?a2???an)?[(a1?a2)???(a1?an)]?[a2?a3)???(a2?an)]???[(an?2?an?1)?(an?2?an)]?(an?1?an)?n(a1?a2???an)?(a1?a2???an)其中等号当且仅当2222222222
?n(a1?a2??an)
222a1?a2???an时成立。
x?当a?1，x?0时，因1?2xxx
2x?[1?2???(n?1)?n]?n[1?22???(n?1)2x?n2x]
当0?a?1，x?0时，因axxx22?a
2x?[1?2???(n?1)?na]?n[1?22x2x???(n?1)2x?n2xa]?n[1?222x??
?(n?1)?na] 即2f(x)?f(2x)，a?(0，1]，x?0成立。【例5】 如图，ΔABC是某屋顶的断面，CD⊥AB，横梁AB的长是竖梁CD长的2倍.设计时应使y?tgA?2tgB保持最小，试确定D点的位置，并求y的最小值.
解：设AD=x，CD=1， 则AB=2，BD=2–x，（0 ?22?x1?x?2x(2?x) 1A??x2??x?2?8x?2?2x8x?2 ?6DBx?2∵x?2??42；当且仅当(x?2)21?8,x?22?2时取等号 ∴当x?22?2时，y取得最小值??3?22242?6 此时DB?2?(22?2)?4?22,AD:DB?22?24?22?12 答：取AD:DB=1:2时，y有最小值 3?222 14a【例6】 在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液再倒出溶液 14a升，搅匀后 升，这叫做一次操作。 (I)设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn（每次注入的溶液都是p%）， 计算b1，b2，b3，并归纳出bn的计算公式（不要求证明） (II)设p?q?r，且p?r?2(p?q)要使容器内溶液浓度不小于q%，问至少要进行上述操作多少次？（已知lg2?0.3010） a?r100?a?p解：(I)b1?a?1414100?(r?p)a100554 a?b1?b2?a142144100?[()r?p?p] 2a100555a?4a?p2?pa?b2?b3?1431444100?[()r?p?p?p] 23a1005555a?41100[(45)r?n?bn?15p?452p???4n?1n5p] (II)bn?p4n4424n?1()?[1??()???()]1005500555r ?4n()1005r4n1?()pp14n5????()(p?r)450010010051?5p?q4n()(p?r)?10051001 依题意有：100 4次。 ?p?r?2(p?q)?上式化简得：lg21?3lg20.30101?3?0.30105n()?24?n???3.103 ?至少要注入倒出【例7】 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数f(n)（万件）近似地满足下列关系： f(n)?190n(n?2)(18?n),n?1,2,3,?,12 （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？ （Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件） ??f?1?, n?1解：（Ⅰ）首先，第n个月的月需求量＝? fn?fn?1, 2?n?12??????∵ f(n)?190n(n?2)(18?n)， ∴ f?1??1730?1.3． 190(n?1)(n?1)(19?n) 当n?2时，f(n?1)?∴ f(n)?fn(?1?)190?(n3?2n3?5 1 9)