23．（广西桂林等四市2013届高三第一次联考试题（理数） ）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 已知函数f(x)?alnx?1x,a?R. (Ⅰ)若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直,求a的值;
(Ⅱ)当a?1,且x≥2时,证明:f(x?1)≤2x?5.
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a1 ?xx2又曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直, 所以f?(1)?a?1?2,即a?1
【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为?x|x?0?,f?(x)?(Ⅱ)当a?1时,f(x?1)?ln(x?1)?令g(x)?ln(x?1)?1,x??2,???. x?11?2x?5. x?111(2x?1)(x?2) g?(x)???2??x?1(x?1)2(x?1)2当x?2时,g?(x)?0,g(x)在(2,??)单调递减.
又g(2)?0,所以g(x)在(2,??)恒为负
1?2x?5≤0. x?1故 当a?1,且x≥2时,f(x?1)≤2x?5成立
所以当x?[2,??)时,g(x)≤0.即ln(x?1)?24．（广西南宁市2013届高三第二次诊断测试数学（理）试题）(注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．
已知函数f(x) =e-kx,x∈R.
x
2
1,求证:当x∈(0,+?)时,f (x)>1; 2(2)若f (x)在区间(0,+?)上单调递增,试求k的取值范围;
22224*
(3)求证:(4+1)(4+1)(4+1)(4+1) 123n(1)若k=【答案】 25．（广西百所高中2013届高三第三届联考试题数学理 ）已知f(x)?ax?lnx,x??0,e?,g(x)?其中e是自然常数,a?R. 7 lnx,x(1)当a=1时,求f(x)的极值,证明|f(x)|?g(x)?1恒成立; 2(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 26．（广西陆川县中学2012届高三第二学期第三次数学模拟试题（理） ）已知函数 f(x)?1?ln(x?1)(x?0).x (I)试判断函数f(x)在(0,??)上单调性并证明你的结论; (Ⅱ)若f(x)?k对于?x?(0,??)恒成立,求正整数k的最大值; x?1(III)求证:(1?1?2)(1?2?3)(1?3?4)???【答案】解:(I)f?(x)??1?n(n?1）??e2n - 3. 1x11[?1?ln(x?1)]??[?ln(x?1)] x2x?1x2x?1?x?0,?x2?0, 1?0,ln(x?1)?0,?f?(x)?0. x?18 ?f(x)在(0,?)上是减函数. (II)f(x)?k(x?1)[1?ln(x?1)]恒成立,即h(x)??k恒成立. x?1x即h(x)的最小值大于k. x?1?ln(x?1), 记g(x)?x?1?ln(x?1)(x?0) 2xx则g?(x)??0,?g(x)在(0,??)上单调递增, x?1h?(x)?又g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0. ?g(x)?0存在唯一实根a,且满足a?(2,3),a?1?ln(a?1). 当x?a时，g(x)?0,h?(x)?0，当0?x?a时，g(x)?0,h?(x)?0. ∴h(x)min?h(a)?(a?1)?1?ln(a?1)?a?a?1?(3,4) 故正整数k的最大值是3 1?ln(x?1)3?(x?0) xx?13x33∴ln(x?1)??1?2??2? x?1x?1x(III)由(Ⅱ)知 令x?n(n?1)(n?N*),则ln[1?n(n?1)]?2?∴ln(1?1?2)?ln(1?2?3)?????ln?1?n(n?1)?3 n(n?1) ?(2?33)?(2?)?1?22?3??(2?3) n?(n?1)111?2n?3[1????2231113?]?2n?3(1?)?2n?3??2n?3 nn?1n?1n?1?(1?1?2)(1?2?3)(1?3?4)????1?n(n?1）??e2n - 3 27．（广西南宁市2012届高三第二次适应性测试数学（理）试题）(本小勘满分12分)(注意:在试题卷上 作答无效) 已知函数(1)求函数(2)试比较【答案】 9 ,e为自然对数的底数,常数a>0. 的极小值;. 与a的大小关系,并讨论方程 在区间 内实数根的个数. 28．（2008全国1理科）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．． ) 已知函数f(x)?x3?ax2?x?1,a?R. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)设函数f(x)在区间???2，?1???33?内是减函数,求a的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）f′(x)=3x2 +2ax+1，判别式Δ=4(a2 -3) （i）若a>3或a0，f(x)是增函数； ?3??在???a?a2?3?a?a2?3??,? 内f′(x)<0，f(x)是减函数； ?33??在???a?a2?3?,????上f′(x)>0，f(x)是增函数。 ?3?? 10