解：由题意知∠BAC＝45°，∠FBA＝30°，∠EBC＝45°，AB＝100海里，过B点作BD⊥AC于点D，∵∠BAC＝45°，∴△BAD为等腰直角三角形，∴BD＝AD＝502，∠ABD＝45°，∴∠CBD＝180°－30°－45°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴在Rt△BCD中，BC＝1002≈141(海里)，CD＝506，∴AC＝AD＋CD＝502＋506≈193(海里)
24．(10分)如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
BD
(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求的值．
AD
解：(1)连接OD，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO＝90°，而OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线 (2)∵OF∶OB＝1∶3，∴OF＝1，BF＝2，设BE＝x，则DE＝EF＝x＋2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，而∠ADO＝∠A，DEBEBDx＋2xBD
∴∠BDE＝∠A，又∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴＝＝，即＝＝，∴
AEDEAD6＋xx＋2ADBD21
x＝2，∴＝＝ AD2＋22
25．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
(1)求线段CD的长；
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
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解：(1)线段CD的长为4.8 (2)过点P作PH⊥AC，垂足为H，由题意可知DP＝t，CQ＝PHPCPH4.8－t9641
t，则CP＝4.8－t.由△CHP∽△BCA得＝，∴＝，∴PH＝－t，∴S△CPQ＝CQ·PH
ACAB8102552196422481
＝t(－t)＝－t＋t.设存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.∵S△ABC＝×6×82255525222482
＝24，且S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，∴(－t＋t)∶24＝9∶100，整理得5t－24t＋27＝0，即
52599
(5t－9)(t－3)＝0，解得t＝或t＝3，∵0≤t≤4.8，∴当t＝或t＝3时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶
55100 (3)①若CQ＝CP，则t＝4.8－t.解得t＝2.4；②若PQ＝PC，作PH⊥QC于点H，∴QHt
24.8－t1tCHCP144
＝CH＝QC＝，∵△CHP∽△BCA，∴＝，∴＝，解得t＝；
22BCAB61055
24144③若QC＝QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，同理可得t＝.综上所述：当t为2.4或1155
或时，△CPQ为等腰三角形
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