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2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
xln(1?x)?.
x?01?cosxy(1?x)(2) 微分方程y??的通解是 . x(1) lim(3) 设?是锥面z? .
(4) 点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离d= .
x2?y2(0?z?1)的下侧，则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?
?(5) 设矩阵A???21??2E，则?，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?12??B= . (6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则
P?max{X,Y}?1?= .
二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则( ) (A)0?dx??y. (C)?y?dy?0.
(B)0??y?dy. (D)dy??y?0.
?1
(8) 设f(x,y)为连续函数，则
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于( )
0(A)
??220dx?dy??1?x2xf(x,y)dy.
(B)
?220dx?1?x20f(x,y)dy.
1?y20(C)
2201?y2yf(x,y)dx.
(D)
?220dy?f(x,y)dx.
(9) 若级数
?an?1nn收敛，则级数( )
(A)
?an?1?收敛. (B)
?(?1)n?1?nan收敛.
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(C)
?aann?1?n?1收敛.
(D)
?an?an?1收敛. 2n?1?(10) 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且??y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) (A)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (D)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(11) 设a1,a2,?,as均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是( )
(A)若a1,a2,?,as线性相关，则Aa1,Aa2,?,Aas线性相关. (B)若a1,a2,?,as线性相关，则Aa1,Aa2,?,Aas线性无关. (C)若a1,a2,?,as线性无关，则Aa1,Aa2,?,Aas线性相关. (D)若a1,a2,?,as线性无关，Aa1,Aa2,?,Aas线性无关.
(12) 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2
?110???列得C，记P??010?，则( )
?001???(A)C?PAP.
(C)C?PAP.
T?1
(B)C?PAP.
(D)C?PAP.
T?1(13) 设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有( )
(A)P(A?B)?P(A). (C)P(A?B)?P(A).
(B)P(A?B)?P(B).
(D)P(A?B)?P(B).
2(14) 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且
P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则必有( )
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(A)?1??2. (C)?1??2.
(B)?1??2.
(D)?1??2.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
设区域D???x,y?x2?y2?1,x?0,计算二重积分I????1?xydxdy . 221?x?yD
(16)(本题满分12分)
设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...? . (I)证明limxn存在,并求该极限 ；
n??1?xn?1?xn2(II)计算lim?? . n???xn?
(17)(本题满分12分)
将函数f?x??x展开成x的幂级数 . 22?x?x
(18)(本题满分12分)
设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数，且z?f?x?y22??2z?2z满足等式2?2?0
?x?y(I) 验证f???u??f??u??0. u(II) 若f?1??0,f??1??1,求函数f?u?的表达式.
(19)(本题满分12分)
设在上半平面D?都有f?tx,ty??t?2??x,y?y?0?内,函数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0f?x,y?.
证明: 对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
??yf?x,y?dx?xf?x,y?dy?0
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(20)(本题满分9分)
?x1?x2?x3?x4??1?已知非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解
?ax?x?3x?bx?134?12(I) 证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2; (II) 求a,b的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.
(I) 求A的特征值与特征向量
(II) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.
(22)(本题满分9分)
TT?1?2,??1 随机变量x的概率密度为 fX?x???,?4?0,???1?x?00?x?2 其他令y?X2,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.求
(I) Y的概率密度fY?y?; (II) F??
(23)(本题满分9分)
?1?,4?. ?2?0?x?1??,?设总体X的概率密度为f?x,0???1??,1?x?2其中?是未知参数?0???1?.
?0,其它?X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求
?的最大似然估计.
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2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题 (1)【答案】2.
【详解】由等价无穷小替换，x?0时，ln(1?x)?x,1?cosx?12x， 2xln(1?x)x2lim?lim=2 x?01?cosxx?012x2(2)【答案】Cxe?x.
【详解】分离变量，
dyy(1?x)dy(1?x)dy1dy1?dx??(?1)dx????dx??dx ??dxxyxyxyxlnylnx?x?ce?e ?y?Cxe?lny?lnx?x?c ??x
(3)【答案】2?
?x2?y2?1【详解】补一个曲面?1:?,取上侧，则?1??组成的封闭立体?满足高斯公式，
?z?1 ???(??P?Q?R??)dv??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?I ???x?y?z?1???P?Q?R???1?2?3?6 ?x?y?z1设 P?x,Q?2y,R?3(z?1)，则∴I????6dxdydz(?为锥面?和平面?所围区域)?6V(V为上述圆锥体体积)
?注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I?6??2?(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便) 3而 ??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?0(?在?1上：z?1,dz?0)
?1?方法2：先二重积分，后定积分.
1因为V?Sdz，r?0?x2?y2，r2?x2?y2，r2?z2，S??r2??z2，
1?11所以V???z2dz??z2?? .从而I?6V?6??2?
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