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方法3：利用球面坐标. z?1在球坐标下为：??1， cos?2?I??d??d??0402??1cos?0?406?sin?d???d??202sin?d? 3cos??4?(?2)?d??02??402?dcos?1?2?(?2)d?(?)cos??3?02cos?0?2?0d??2?
方法4：利用柱面坐标 .
I??d??dr?6rdz?6?d??(1?r)rdr
00r002?112?1?6?
2?02?11d?(r2?r3)??d??2?
02301(4)【答案】2 【详解】代入点 P(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离公式
d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222?6?4?09?16?25?2
(5)【答案】 2
【详解】由已知条件BA?B?2E变形得，BA?2E?B?B(A?E)?2E, 两边取行列式, 得
B(A?E)?2E?4E?4
其中，A?E??11?21??10????2， 2E?22E?4 ?????12??01??112EA?E?4?2. 2因此，B?
(6)【答案】19
【详解】根据独立性原理：若事件A1,?,An独立，则
P?A1?A2???An??P?A1?P?A2??P?An?
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事件?max{X,Y}?1???X?1,Y?1???X?1???Y?1?，而随机变量X与Y均服从区间[0,3]上的均匀分布，有P?X?1??量X与Y相互独立，所以，
11111dx?PY?1?dy?和???033?033. 又随机变1111P?max(x,y)?1??P?x?1,Y?1??P?x?1??P?Y?1????
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二、选择题. (7)【答案】A 【详解】
方法1： 图示法.
因为f?(x)?0,则f(x)严格单调增加；因为f??(x)?0, 则f(x)是凹函数，又
?x?0，画f(x)?x2的图形 y y=f(x) Δy
dy
O x0 x0+Δx x
结合图形分析，就可以明显得出结论：0?dy??y. 方法2：用两次拉格朗日中值定理
?y?dy?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x(前两项用拉氏定理)
?f?(?)?x?f?(x0)?x (再用一次拉氏定理)
?f??(?)(??x0)?x, 其中x0???x0??x,x0????
由于f??(x)?0，从而?y?dy?0. 又由于dy?f?(x0)?x?0，故选[A] 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：
(n)??f(x)f(x0)20f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn， 2!n!其中Rn?f(n?1)(x0)(n?1)!(x?x0). 此时n取1代入，可得
1f??(?)(?x)2?0 2n?y?dy?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x?又由dy?f?(x0)?x?0，选(A) .
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(8)【答案】(C)
?【详解】记
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr???f(x,y)dxdy，则区域D的极坐标表示是：
0D10?r?1 ，0????4. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图
形可以看出，直角坐标的积分范围(注意 y?x 与 x2?y2?1 在第一象限的交点是
（222)，于是 D:0?y?，）,y?x?1?y2 222所以，原式??220dy?1?y2yf(x,y)dx. 因此选 (C)
(9) 【答案】D 【详解】
方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛
因为
?an收敛，所以?an?1也收敛，所以?(an?an?1)收敛，从而?n?1n?1n?1??????(?1)n方法2：记 an?，则?an收敛. 但?an??nn?1n?1n?1???1(p级数，p?1级数发散)均发散。由排除法可知，应选D. aa???nn?1nn?1n?1n?1an?an?1也收敛.选D. 2n?111，(p级数，p?级数发散)；
2n?
(10) 【答案】D 【详解】
方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。
已知?(x0,y0)?0，由?(x,y)?0，在（x0,y0)邻域，可确定隐函数y?y(x)，
满足y(x0)?y0，
dydx?????x???y。
)（x0,y0)是f(x,y)在条件?(x,y?z?f(x,y(x))的极值点。它的必要条件是
dzdxx?x00的一个极值点?x?x0是 下
??f(x0,y0)?x??f(x0,y0)dy?ydxx?x0?x?(x0,y0)?fx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)??(x0,y0)y?0
x?x0?(x0,y0)?0，因此不选(A)，(B). 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0，或?x若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0(否则
dzdxx?x0?0). 因此选(D)
方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，有
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?(x,y)?0(1)?Fx??fx?(x,y)???x?(2) ?Fy??fy?(x,y)????y(x,y)?0?F????(x,y)?0??因为??y(x0,y0)?0，所以???fy?(x0,y0)，代入(1)得
??(x,y)y00fx?(x0,y0)???(x0,y0)fy?(x0,y0)?x
??y(x0,y0)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0，选(D)
(11)【答案】A 【详解】
方法1：若?1,?2,?,?s线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0的数k1,k2,?,ks使得
k1?1?k2?2???ks?s?0
为了得到A?1,A?2,?,A?s的形式，用A左乘等式两边, 得
k1A?1?k2A?2???ksA?s?0 ①
于是存在不全为0的数k1,k2,?,ks使得①成立，所以A?1,A?2,?,A?s线性相关. 方法2：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:
1. ?1,?2,?,?s线性相关?r(?1,?2,?,?s)?s；2. r(AB)?r(B). 矩阵(A?1,A?2,?,A?s)?A(?1,?2,?,?s), 设B?(?1,?2,?,?s)， 则由
r(AB)?r(B)得r(A?1,A?2,?,A?s)?r(?1,?2,?,?s)?s. 所以答案应该为(A).
(12) 【答案】B
【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出
?110???将A的第2行加到第1行得B，即 B??010?A 记 PA
?001????1?10???将B的第1列的-1倍加到第2列得C，即C?B?010? 记 BQ
?001???16
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?110??1?10??????1因为PQ??010??010??E，故Q?P?1E?P.
?001??001?????从而C?BQ?BP?1?PAP?1 ,故选(B).
(13)【答案】C
【详解】本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式
根据条件概率的定义，当P(B)?0时，PAB???P?AB??1得P?AB??P?B?
P?B?根据加法公式有P?A?B??P?A??P?B??P?AB??P?A?,故选(C)
(14) 【答案】A.
【详解】由于X与Y的分布不同，不能直接判断P{|X??1|?1}和P{|Y??2|?1}的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。
随机变量标准化，有
X??1?1~N(0,1)，且其概率密度函数是偶函数. 所以
P(X??1?1)?P(?X??11?X??1111?)?2P?0????2[?()??(0)]?2?()?1. ?1?1?1?1??1?1?1同理有，P(Y??2?1)?2?(?2)?1
因为?(x)是单调递增函数，当P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1}时，
2?(1?1)?1?2?(1?2)?1，即
1?1?1?2，所以?1??2，故选(A).
三、解答题
(15)【详解】积分区域对称于x轴，
xyy为y的奇函数，
1?x2?y2从而知
xydxdy?0 22??1?x?yD所以 I???1?xD12??ydxdy极坐标?2?d??2?2r??21dr?ln(1?r)?ln2 001?r222116