黑龙江省大庆实验中学2012－2013学年度下学期开学考试
高三数学试题（理科）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合A??x（A）AB（B）B1x??1?，B??x?1?x?0?，则
A （C）A?B（D）A?B??
（2）设i是虚数单位，复数
（A）?121?ai2?i为纯虚数，则实数a为 （ ） （C）
12 （B）?2 （D）2
（3）执行如图所示的程序框图，输出的k值是 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （4）命题“?x?R,ex?0”的否定是 （A）?x?R,ex?0（B）?x0?R,ex0?0 （C）?x0?R,ex0?0 （D）?x?R,ex?0
（5） “a??1”是“直线a2x?y?6?0与直线4x?(a?3)y?9?0互相垂直”的（ ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（6）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD?平面CBD，形成三棱锥C?ABD的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）
（A）
12 （B）
22 （C）24 （D）
14
（7）已知数列?an?是等差数列，a1?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，?an?的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是 （A）18 （8）已知椭圆
x22（B）19 （C）20 （D）21
4?y?1的焦点为F1,F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线
·1·
?????????交椭圆于点P，则使得PF1?PF2?0的点M的概率为（ ）
（A）
23 （B）
63 （C）
263 （D）
12
?lgx?2,（9）定义在R上的函数f(x)??1,?x?2x?2若关于x的方程f2(x)?bf(x)?c?0恰好有5
个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5，则f(x1?x2?x3?x4?x5)?（ ） （A）lg2 （B）lg4 （C）lg8 （D）1 （10）给出四个命题，则其中正确命题的序号为 ①存在一个△ABC，使得sinA+cosA=－1； ②△ABC中，A＞B的充要条件为sinA＞sinB； ③直线x=
?85?4是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴；
④△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形. （A）①②
（B）②③
xa22（C）③④
（D）①④
10．已知双曲线
线
xa?yb2?yb22?1(a?1,b?0)的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与点（1，0）到直
?1的距离之和为S，且S?5,5] （B）[2,45c，则离心率e的取值范围是（ ）
52,7] （D）[（A）[7] （C）[2,5]
（12）在?ABC中，AC=6，BC=7，cosA?15，O是?ABC的内心，若OP?xOA?yOB，其中
0?x?1,0?y?1，动点P的轨迹所覆盖的面积为（ ）
（A）
1036 （B）
536 （C）
103 （D）
203
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：
?x?0?（13）若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x?y?a
?y?x?2?扫过A中的那部分区域的面积为 ____________.
·2·
（14）数列?an?满足a1?1，a2?1，an?an?2?n?1?n?N*?，若?an?前n项和为Sn，则S100?＿．
（15）F1，F2是双曲线
xa22?yb22?1?a?0,b?0?的左右焦点，点P在双曲线左支上不同于左顶点
的任意一动点，圆Q与线段PF1延长线，线段PF2延长线，线段F1F2均相切，则圆心Q的轨迹方程是
（16）如图，已知?ABC中，?ABC?90?，延长AC到点D，连接BD，若?CBD?30?且
AB?CD?1，求AC的长.
三、解答题：（17）（本小题满分12分）已知等比数列{an}的各项均为正数，
且2a1?3a2?1,a3?9a2a6．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
2（Ⅱ）设bn?log3a1?log3a2???log3an，求数列{1bn}的前n项和．
（18）（本小题满分12分）我市某学院为了调查本校学生201 1年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[O，5]，(5，1 O]，?，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(I)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(Ⅱ)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E(Y)．
（19）（本小题满分12分）17.如图所示的长方体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1?2，M是线段B1D1的中点．
（Ⅰ）求证：BM//平面D1AC；（Ⅱ）求证：D1O?平面AB1C； （Ⅲ）求二面角B?AB1?C的大小．
（20）（本小题满分12分）已知：圆x?y?1过椭圆xa2222?yb22?1(a?b?0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y?kx?m与圆x?y?1相
x222????????23切 ，与椭圆2?2?1相交于A，B两点记??OA?OB,且???.
34ab（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求k的取值范围； （Ⅲ）求?OAB的面积S的取值范围.
y2·3·
（21） （本小题满分12分） 设函数f(x)?(x?1)2?blnx，其中b为常数． （Ⅰ）当b?12时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
（Ⅱ）当b?0时,求f(x)的极值点并判断是极大值还是极小值； （Ⅲ）求证对任意不小于3的正整数n，不等式
1n2?ln(n?1)?lnn?1n都成立．:
四、选做题.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA?OB,CA?CB,⊙O交直线OB于E，D，连接（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线； EC,CD．
（Ⅱ）若tan?CED?12,⊙O的半径为3，求OA的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
??x?2cos?已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为???y?3sin?（?为参数），定点A0,?3，F1,F2是圆锥曲线C的左，右焦点
（Ⅰ）以原点为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E,F两点，求弦EF的长 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)?2x?1?x?2．（Ⅰ）求不等式f(x)?2的解集；
2（Ⅱ）若?x?R，f(x)?t???112t恒成立，求实数t的取值范围．
大庆实验中学2012－
2013学年度下学期开学考试
数学试题（理科）
一、选择题：
（1）C（2）D（3）C（4）B （5）A（6） D（7）C（8）B（9）C（10）B (11) A（12）A 二、填空题： （13）
74（14）2525（15）x?a?y??a，或y?a?（16）32
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
·4·
3222（17）（1）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4?q?19．由条件可知q?0，故
q?(2）
13．由2a1?3a2?1得2a1?3a1q?1，所以a1?13．故数列{an}的通项式为an?
13n．
bn?log3a1?log3a2???log3an故
1bn??2n(n?1)1bn??2(1n?1n?1)
1b1?1b2?...???2((1?12)?(12?13)?...?(1n?1n?1))??2nn?1
所以数列{1bn}的前n项和为?2nn?1.
（18）解:（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形， ∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O//BM． ?2分 ∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC， ∴BM//平面D1AC．?????????? 4分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接D1O，则点O(1,1,0)、D1(0,0,2)， ?????∴OD1?(?1,?1,2)
??????????????????∵OD1?OB1?(?1,?1,2)?(1,1,2)?0，OD1?AC?(?1,?1,2)?(?2,2,0)?0 ??????????????????∴OD1?OB1，OD1?AC，即OD1?OB1，OD1?AC，
又OB1?AC?O，∴D1O?平面AB1C． ????????8分
（Ⅲ）∵CB?AB，CB?BB1，∴CB?平面ABB1，
????∴BC?(?2,0,0)为平面ABB1的法向量．
??????????????????∵OD1?OB1，OD1?AC，
?????∴OD1?(?1,?1,2)为平面AB1C的法向量．
·5·