∴?????????cos?BC,OD11??，
∴????与?????2BCOD1的夹角为60?，即二面角B?AB1?C的大小为60?．?14分
（19）解：（Ⅰ）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为
(0.01?0.02?0.03?0.09)?5?0.15?5?0.75， ············································· 2分 ∴ 健康上网天数超过20天的学生人数是 40?(1?0.7?5)?400?.．25 ······························································· 4分 （Ⅱ）随机变量Y的所有可能取值为0,1,2． ··················································· 5分
Y的分布列为
Y 0 1 2 P 2952 513 352 ······················································· 11分
∴ E（Y）=0×29352+1×
513+2×
52=
12 ． ························································13分
（20）
20. (满分12分)
解：（Ⅰ）由题意知2c=2,c=1 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a=2所求椭圆方程为x22 3分
2?y?1
（Ⅱ）因为直线l:y=kx+m与圆x2?y2?1相切 所以原点O到直线l的距离|m|＝1,即：m2?k2?1 5分
1?k2又由??y?kx?m，（?x2 1?2k2）x2?4kmx?2m2?2?0
??2?y2?1设A（x1,y1），B（x2,y2），则2x?4km1?x2?1?2k2,x1x2?2m?2 7分
1?2k2·6·
所以
??OA?OB?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2
＝
k?11?2k22，由23???34，故12?k2?1，
即k的范围为[?1,?22]?[22,1]
9分
（III）|AB|2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] ＝2?2(2k2，由12?1)2?k2?1，得：
62?|AB|?43 11分
S?12|AB|d?12|AB|，所以：
64?S?23 12分
（21） . 解：（1）由题意知，f(x)的定义域为(0,??)，
bx2x?2x?bx22(x??12)?b?x212 (x?0)
f'(x)?2x?2??当b?12?时， f?(x)?0，函数f(x)在定义域(0,??)上单调递增． 4分
（2）当b?0时f?(x)?0有两个不同解，
12121?2b21?2b212121?2b2x1??, x2??
x1???0?(0,??)，舍去，
而x2??1?2b2?1?(0,??),
此时 f?(x)，f(x)随x在定义域上的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) (0,x2) ? x2 0(x2，??) ? 减 极小值 121?2b2增 ， 8分
由此表可知：?b?0时，f(x)有惟一极小值点, x?·7·
?（3）由(2)可知当b??1时，函数f(x)?(x?1)2?lnx， 此时f(x)有惟一极小值点 x?1?2312?1?2b21?2?1?233
且x?(0,)时，f'(x)?0, f(x)在(0,1n431?21n1n22)为减函数
?当 n?3 时， 0? 1?1??恒有 f(1)?f(1?1n??3，?ln(1?1n))，即恒有 0? 11分
?当 n?3 时恒有ln(n?1)?lnn ? 成立令函数h(x)?(x?1)?lnx （x?0)
则 h'(x)?1?1x?x?1x
?x?1 时，h'(x)?0 ，又h(x)在x?1处连续?x?[1,??)时h(x)为增函数?n?3 时 1?1?1n ?h(1?1n)?1n1n1n?ln(n?1)?lnn?1n2)?h(1) 即 1n?ln(1?1n)?0?ln(n?1)?lnn?ln(1?
综上述可知 n?3 时恒有 14分
四、．（本小题满分10分）
证明：（1）如图，连接OC,?OA?OB,CA?CB,?OC?AB
?OC是圆的半径， ?AB是圆的切线．-------------------------------3分 （2）ED是直径，??ECD?90,??E??EDC?90
又?BCD??OCD?90,?OCD??ODC,??BCD??E,又?CBD??EBC，
??BCD∽?BEC，?tan?CED?CDEC?1BCBE?BDBC?BC2????BD?BE，-----------5分
?BCD∽?BEC，
2BDBC，
?CDEC2?12-----------------------7分
2设BD?x,则BC?2x,?BC?BD?BE?(2x)?x(x?6)?BD?2--------9分
·8·
?OA?OB?BD?OD?2?3?5．------------------------10分
23．（本小题满分10分）
24．（本小题满分10分）
1??x?3,x???2?1?解：（1）f(x)??3x?1,??x?2，----------------------------------------------------------2分
2?x?3,x?2???当x??当?1212,?x?3?2,x??5,?x??5
?x?2,3x?1?2,x?1,?1?x?2
当x?2,x?3?2,x??1,?x?2
综上所述 ?x|x?1或x??5? ．----------------------5分 （2）易得f(x)min??522，若?x?R，f(x)?t?112t恒成立，
12?t?5，
则只需f(x)min??综上所述
1252?t?2112t?2t?11t?5?0?2?t?5．------------------------------10分
·9·