【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题5 平面向量 39 与平
面向量有关的创新题 理
训练目标 (1)平面向量知识的灵活应用；(2)学生创新能力的培养. 训练题型 (1)平面向量与其他知识的综合应用；(2)与平面向量有关的新定义问题. 解题策略 (1)利用平面向量的概念及运算将综合问题转化，脱去向量外衣后观察条件的实质；(2)从新定义出发，对条件转化，化为学过的知识后求解. 1．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，且对于任意实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a，b的夹角为θ，则sin θ＝________.
π→→
2．在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
6
3．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定m，n之间的一种运算“?”为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)．若
a＝(－1，－2)，a?b＝(4,5)，则b＝________.
→→→
4．(2015·宜昌一模)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA＋4OB＋5OC＝0，则△AOC的面积为________．
5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α°β＝
α·β
.若平面向量a，b满足
β·β
??π??|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈?0，?，且a°b和b°a都在集合?
4????
n???
n∈Z?中，则a°?2???
b＝________.
→→
6．已知O是△ABC所在平面内一点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．
7．设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|，则
2
＋)，λ∈(0，
→→
|AB|cos B|AC|cos CAB→
AC→
a与b的夹角为________．
ππ
8．若函数f(x)＝2sin(x＋)(－2 63→→→ 的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则(OB＋OC)·OA＝________. 9．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算mD○×n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有mD○×p＝m成立，则向量p＝________. →5→ 10．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD＝DB. 11 1 →→(1)求|AB－AC|； →→→→ (2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，令k＝x·y，求k的最小值． 答案解析 1.63 解析 如图所示，当(a＋b)⊥b时，对于任意实数x，a＋xb＝→OA或a＋xb＝→ OB， 三角形中斜边大于直角边恒成立，不等式恒成立． 因为(a＋b)⊥b，|a|＝3，|b|＝1， 所以tan α＝2，tan θ＝－2，sin θ＝63 . 2.16 解析 在△ABC中，→AB·→AC＝|→AB|·|→ AC|·cos A＝tan A， 3∴|→AB|·|→AC|＝tan A3 2cos A＝3＝3 . 2 由三角形面积公式，得S＝11212|AB|·|AC|sin A＝1 2×3×2＝6. 3．(－145，3 5 ) 解析 设b＝(x，y)，由题设的运算规则得a?b＝(－x＋2y，－y－2x)＝(4,5)， ??－x＋2y＝4，?所以? ?x＝－14 ，?? －y－2x＝5， ?5解得∴b＝(－145，3 ??y＝3 5 )． 5. 4.25 解析 由题设，得3→OA＋5→OC＝－4→OB，两边平方得9＋2×3×5→OA·→ OC＋25＝16， 2