7-5 氢原子处于基态?(r,?,?)?1?30ra0e，试求（1）r的平均值；（2）最可几半径。
?a7-6 试证明：处于1S，2P和3d 态的氢原子的电子在离原子核距离分别为a0 ,4a0 和9a0 的球壳内被发现的几率最大（a0 为第一玻尔轨道半径）
7-7 氢原子处于基态，（1）求距核二倍玻尔轨道半径以外发现电子的几率。（2）如果我们画一个球面，使得在此球面内发现电子的几率为90% ，那么这个球面的半径是多少？
7-8 如坐标轴绕z轴旋转一个α角，试问氢原子波函数的角度部分Ylm(?,?)将如何变化？此种变化是否观察到？ 7-9 试求出在Y10及Y21态下，电子按角度的分布几率取极大值和极小值的?角。 7-10 试证明：L?6?,Lz???的氢原子中的电子在??45和135方向上被发现的几率最大。
00
?,L?2,L?的共同本征态，??R(r)Y(?,?)，求相应的电流密度和磁矩。 7-11 原子中的电子束缚态，作为Hlmz7-12 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示。
7-13 由于发生原子核的?衰变，原子核的电荷突然由Ze?(Z?1)e 。对于衰变前处于原子Z的K层（1S层）的电子，在原子核衰变后仍旧处于原子（Z+1）的K层的几率等于多少？
7-14 粒子在半径为a，高度为h的圆筒中运动，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外势能为无限大，求粒子的能量本征值及本征函数。
7-15 单价原子中的价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的作用可近似表示为U(r)??esr2??esa0r22,(0????1)，式中es?e4??0，a0为玻尔半径，求价电子的能级，并与氢原子能级
相比较。
7-16 对于类氢原子（核电荷Ze）l?n?1(nr?0)的状态，计算：（1）最可几半径rn （2）平均半径r（3）涨落?r，并将它和r相比较。
7-17 讨论二维氢原子，其中的电子为库仑力束缚于原子核，并限制在一个平面中运动。（1）试求此体系的本征函数和能量本征值。（2）试解释玻尔虽然假设一个平面轨道求解氢原子问题，为什么还能够得与实验一致的能量。 7-18 三维各向同性谐振子势U（r）如下：U(r)?能级和波函数，并讨论能级的简并情况。
7-19 一个电子被限制在一块电介质（无限大）平面的上方（x>0）运动。介质的介电常数为? ，不可穿透。按电像法可求出静电势为U(x)??12m?r ，式中m为粒子质量，?是常数。试求该体系的
22?x,??e24(??1??1)?0，试求电子的能级（E<0）。
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第八章自旋
?8-1 设电子处于?状态，求S与Z轴的夹角。
?2,S??0,(??x,y,z) 8-2 证明S??的本征值分别为S??/2和??/2的本征函数用它们展开。 8-3 ?和?组成正交归一完全系，试将Sxx?2的本征函数，但不是S?的本征函数。 8-4 试证明?和?是Sxx?x??y??z?i 。 8-5 试证明???8-6在“自旋”向下态?中，求Sx和Sy的涨落?Sx，?Sy以及?Sx?Sy 。 ?的本征值和本征函数（取S表象）8-7 求S。 yz?x,??y和??z 的归一化本征函数；??n??1 ，并求相应的本征函数；8-8 （1）在?x表象中求?（2）证明?n???（3）在?n?1态内，求?x?1,?x??1及?z?1,?z??1的几率。
8-9 设电子自旋Z分量为?/2 ，问沿着与Z轴成?角的z'轴方向上，自旋取?/2及??/2的几率为多少？求此方向上自旋分量的平均值。
??的三个分量均反对易的非零二维矩阵。 8-10 证明不存在和?8-11 测得一电子自旋Z分量为?/2 。再测Sx ，可能得何值，各值的几率为多少？平均值为何？ 8-12 设?为常数，证明e?zi???zsin? ?cos??i???????????????????对易的任何矢量算符，证明(???A?8-13 设A,B为和?)?A?B?i??(A?B)
8-14 化简e?zi????e??z?i?? ，??x,y ，?为常数。 0?? i??e?8-15 证明e?i??z?e?i????0?????eB???x ，设t=0时，电子自旋“向8-16 定域电子受到均匀磁场B的作用，B指向x轴方向，磁作用势为H2?c上”，即Sz??2，求t>0时电子自旋Sz??2??的几率和S的平均值。
??和??表示粒子1和2的泡利算符，试求?????的本征值和本征函8-17 对于两个自旋为1/2 的粒子体系，以?1212???2的本征值。 数，并求S—12—
8-18 设体系有两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子1处于S1z??2态，粒子2处于S2x??2态，（1）写出粒
?2的可能测得值及相应的几率。 子1和粒子2以及体系的波函数，（2）求总自旋S8-19 将两个自旋为1/2的粒子组成的体系置于均匀磁场中，设磁场沿Z轴方向，体系哈密顿量与自旋有关部分
??a?????，试求体系能级。 ?1z?b??2z?c?为H12????????8-20 两个自旋1/2的定域非全同粒子的哈密顿量为H?AS1?S，t=0时粒子1自旋“向上”（），粒子S?1z22?2自旋“向下”（S2z?），求t>0时（1）粒子1自旋“向上”的几率；（2）粒子1和2自旋均“向上”的几率；
2??（3）总自旋S=1和0的几率；（4）S1和S2的平均值。 ?1R21(r)?28-21 设氢原子的状态是???3??R21(r)?2??e?e?M??L?S的Z分量平均值。
2mm?Y11(?,?)??（1）求L和S的平均值；（2）求zz?Y10(?,?)??总
8-22 若电子处于d态，试问它的总角动量可以取哪些值？这时轨道角动量矢量和自旋角动量矢量之间的夹角是多少？
8-23 对于三电子体系，求总自旋量子数的取值。 ?x1??x28-24 对于三个电子的自旋函数??x3?x?4:?(1)?(2)?(3):3:3?1/2?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))，
:(?(1)?(2)?(3)?x5:6?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)?2?(1)?(2)?(3)) ??1/2x:6(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)?2?(1)?(2)?(3))?6?x7:2?1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3)) ??1/2(?(1)?(2)?(3)??(1)?(2)?(3))?x8:22求(S1?S2?S3)和S1z?S2z?S3z的本征值。其中第一组构成四重态，对电子1，2和3的任意交换都是对称
???的，第三组对于电子2和3交换为反对称的。
?2?8-25 讨论三电子体系的自旋函数：（1）证明?(1)?(2)?(3)是S和Sz二者的本征函数，确定相应的本征值。（2）
??(S??S??S?)生成对于S=3/2的全部2S+1个本征函数。运用阶梯算符S（3）确定S=1/2的三电子体系的?1?2?3?本征函数。这样的函数必定有多少组？
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第九章 多粒子系的量子力学
12129-1 两个质量为m的全同粒子，在弹性势场中运动，V1?kx1,V2?2（1）写kx2，忽略粒子间的相互作用。
2?用质心坐标X和相对坐标x出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。（2）将H表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。 9-2 下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？ ????（1）f(r1)g(r2)?(1)?(2) ，（2）f(r1)f(r2)??(1)?(2)??(1)?(2)?
????2??(r?r)（3）?f(r1)g(r2)?g(r1)f(r2)???(1)?(2)??(1)?(2)?（4）r12 （5）e??(re121?r2)
9-3 设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？
9-4 设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)?12m?r。如果电子之间的库仑能和U（r）相
22比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 9-5 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？
9-6 考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是??,??和??，试写出体系的所有可能状态波函数。
9-7 考虑在无限深势阱（0
第十章 微扰论与变分法
?1210-1 假定类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0(r0~10cm)均匀带电小球，试计算类氢原子基态的能量
一级修正。
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???(x?0,x?a)?a3?10-2 一维势阱的宽度为a，其势能函数为U(x)??0(0?x?,a?x?a)，其中k为常数，把此势阱中的粒
44??k(a?x?3a)?4?4子看成是受到微扰的关在盒子中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。
10-3 一个电荷为e的线性谐振子，处于均匀的弱电场?中，设?沿x的正方向：（1）求体系的能量的二级近似值；（2）求波函数的一级近似。
?'的作用，微扰矩阵元为10-4 设体系未受微扰作用时仅有两个能级：E1(0)及E2(0)，现在受到微扰HH12?H21?a,H11?H22?b,a、b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。
''''??10-5 一维非线性谐振子的势能为U(x)?量的一级修正。
12kx2?cx3?dx，若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能
4??10-6 一刚性平面转子，转动惯量为I，电偶极矩为D，处在均匀弱电场?中，电场在转子转动平面上，试求能
量到二级修正。
10-7 把正常塞曼效应中磁场引起的附加项看作微扰，试计算碱金属原子能级En l 的一级修正。 ??10-8 耦合谐振子的哈密顿算符为H2?i?1(?i2p2m?12m?xi)??x1x2，其中?为常数。试用微扰法求其第一激发
22态能量的一级修正。
10-9 在类氢原子中，电子与原子核的库仑作用能为U(r)??2zesr2，当原子核的电荷增加e时，库仑能增加
???H'esr，试用微扰法计算它引起的能量一级修正，并与严格解比较。
'?(x)?U(x)?Ucos10-10 设电子受到晶格的一维周期势U（x）作用，H02?xa，其中a为晶格常数，可将U
（x）看作微扰，无微扰时，电子是自由的，波函数为?(x)?L2e为a的N个离子的晶格长度。试求能量的一级修正。
?1i(kx?Ekt/?)22，Ek??k/2m，L?Na是间距
10-11 设有自由粒子在长度L的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件?(?2L2L2?nLL2)??(L2)，简并的波函数
取为?1(0)?coskx,?(0)2?sinkx,k?,n?0,1?，设粒子还受一个“陷阱”的作用，
?'(x)??Ue?xH02/a2(a??L)，试用简并微扰论计算能量一级修正。
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