?22为“以Q为中点的弦长超过1”，A=?(x,y)1?(x2?y2)?()2? ??,?(x,y)x?y??。
???3由几何概型公式得P(A)?4?0.75.
??1?12?34???9. 在长度为T 的时间段内，有两个长短不等的信号随机地进入接收机。长信号持续时间为t1(?T)，短信号持续时间为t2(?T)。试求这两个信号互不干扰的概率。 解：设x,y表示两个长短不等的信号到达时间，样本空间S=?(x,y)0?x,y?T?,记A为“两个信号互不干扰”，则A=?(x,y)?x?y?t2,y?x?t1?，由几何概型公式得
11(T?t2)2?(T?t1)2t121t2212P(A)?2?(1?)?(1?)。 22T2TT10. 从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。 解：为从5双(10只)不同的鞋中任取4只，我们一只一只地取出,共有10×9×8
×7种取法，此即为样本点总数。设以A表示事件“4只中至少有2只配对成双”，则A的对立事件A为“4只鞋子中没有2只成双”。现在来求A中的样本点数：4只鞋是一只一只取出的，第一只可以任意取，有10中取法，第二只只能取剩下的且除去和已取出的第一只配对的另一只后的8只鞋子中任取一只，它有8种取法。同理第三只、第四只鞋子只有6、4种取法，所以A中样本点总数为10×8×6×4，
得
P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?
10?9?8?72111. 设A,B是两个事件,已知P(A)?0.5,P(B)?0.7,,试求P(A?B)P(A?B?)0.8与P(B?A)。
解：由加法公式P(A?B)?P(A，。由于)?P(B)?P(AB)可知P(AB)?0.4A?B?A?AB,B?A?B?AB,且AB?A,AB?B,则由概率性质可知
P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.1,同理P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.3。
12．设A,B,C是三个事件，已知P(A)?P(B)?P(C)?0.3,P(AB)?0.2，
P(BC)?P(AC)?0。试求A,B,C中至少有一个发生的概率和A,B,C全不发生的
概率。
解：由ABC?BC,0?P(ABC)?P(BC)?0,故P(ABC)?0。A?B?C表示A,B,C中至少有一个发生的事件，由已知事件概率及概率加法公式有
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?0.3?3?0.2?0.7.而A,B,C全不发生这一事件可用A?B?C表示，由逆事件概率关系有
PA?B?C?1?P(A?B?C)?0.3.
11113.已知P(A)?,P(B|A)?,P(A|B)?，求P(A?B)。
346??解：由乘法公式P?AB??P(A)P(BA)?P?B??P(AB)1,又由条件概率公式P?AB??知 12P(B)13，再由加法公式P?A?B??P(A)?P(B)?P(AB)?。 2414.设A,B是两个事件,已知P(A)?0.3,P(B)?0.6，试在下列两种情况中分别求出
P(A|B),P(A|B)。
(1) 事件A,B互不相容； (2) 事件A,B有包含关系。
解：(1)由AB??,则P(AB)?0，P(A?B)?P(A)?P(B)?0.9。由条件概率公式及逆事件概率关系得P(AB)?P(AB)P(A?B)P(AB)?0，P(AB)???0.25 P(B)P(B)P(B)(2)由于P(A)?P(B)，故A?B。因此
P(AB)?AB?A,A?B?B。故类似（1）可得
P(AB)P(A?B)P(B)P(AB)P(A)??0.5，P(AB)????1 P(B)P(B)P(B)P(B)P(B)15．一个盒子中装有10只晶体管，其中有3只是不合格品。现在作不放回抽样：连续取2次，每次随机地取1只 。试求下列事件的概率。 (1) 2只都是合格品种
(2) 1只是合格品，1只是不合格品； (3) 至少有1只是合格品。
解：设Ai表示第i次取的是合格品，i=1，2
767*?1091573377 (2)P(A1A2?A1A2)?*?*?109109153214(3)P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?*?10915(1)P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?
16．某商店出售晶体管，每盒装100只，且已知每盒混有4支不合格品。商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管，如果随即地取1只发现是不合格品，商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中，不合格的那只晶体管不再放回。顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试，试求他发现全是不合格品的概率。
解：设Ai表示第i次取的是不合格品，i=1，2，3 则
P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?4323**?100109118160775
17．已知A,B,C互相独立，证明A,B,C也互相独立.
解：有A，B，C相互独立可得：P(AB)=1-P(A?B)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则三事件相互独立。
18．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为此射手每次射击的命中率.
解：设Ai表示第i次其中目标，i=1，2，3，4 则P(A1A2A3A4)?P(Ai)4?1?2?PA(i?) P(Ai)?13801? 818180，求81
19．设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问，至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的。
解：设至少需要n名情报员，A：情报被破译P(A)=1-P(A)?1?0.4n?0.95ln0.05n?ln0.4
20．有2n个元件，每个元件的可靠度都是p。试求下列两个系统的可靠度 。假定每个元件是否正常工作是相互独立的。
(1) 每n个元件串联成一个子系统，再把这两个子系统并联； (2) 每两个元件并联成一个子系统，再把这n个子系统串联。 解：（1）设Ai表示第i个子系统可靠，i=1，2，
则P(A1?A2)?pn?pn?pn*pn?2pn*p2n
（2）设Ai表示第i个子系统可靠，i=1，2,??,n 则P(A1A2??An)?[p?p?p*p]n?pn*(2?p)n
21．设每个元件的可靠度为 0.96．试问，至少要并联多少个元件才能使系统的可靠度大于0.9999？假定每个元件是否正常工作是相互独立的。
解：设至少要并联n个元件，A：系统正常P(A)=1-P(A)?1?0.04n?0.9999ln0.0001n?ln0.04
22．5名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是80％。他们各投一次，试求：
(1) 恰有4次命中的概率； (2) 至少有4次命中的概率； (3) 至多有4次命中的概率。
解：设Ai表示第i个运动员命中，i=1，2，3，4，5 （1）P(A)?5*P(A1A2A3A4A5)?5*0.2*0.84?0.4096
(2) P(B)?P(A)?P(A1A2A3A4A5)?0.4096?0.85?0.7373 (3) P(C)?1?P(A1A2A3A4A5)?1?0.85?0.6723
23．某地区患肝炎的人占1％。试问该地区某所学校中一个65人的班级里至少有两人患肝炎的概率有多大 ？假定他们是否患肝炎是相互独立的。
解：设A:至少有两人患肝炎，B：没有人患肝炎，C：恰有一人患肝炎1P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.9965?C65*0.1*0.9964
24．甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、 0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大。
解：设A:题被答对，Bi：第i个人抢到答题权，P(B1)P(A|B1)0.2*0.9?0.360.2*0.9?0.3*0.4?0.5*0.40.3*0.4?0.24
0.2*0.9?0.3*0.4?0.5*0.40.5*0.4?0.40.2*0.9?0.3*0.4?0.5*0.4P(B1|A)??P(B)P(A|B)iii=13?P(B2|A)?P(B2)P(A|B2)?P(B)P(A|B)iii=13?P(B3|A)?P(B3)P(A|B3)?P(B)P(A|B)iii=13?得：丙答对的可能性最大25． 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求 （1）先选出的是女生的概率；
（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率。 解：设B:先选出的是女生，Ai表示挑选的是第i个班，i=1，2，
（1） 则P(B)?P(A1)*P(B|A1)?P(A2)*P(B|A2)?0.5*0.2?0.5*0.6?0.4
（2）设C:后选出的是女生，则