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rKrKwLwL??? ??1??，
?wL?rKwL?1??wLwL?rKrK?rK?1??即资本的相对份额为1??，劳动的相对份额为?。
10．生产函数为Q?f?L,K??L?sinL ?K，且w?10，r?15。求该生产函数的扩展线。
K解：厂商生产的最优条件为MPL/MPK?w/r，即：
L?L?1?L?cos???K?K?K?w?10?2
r153?L??L?L?cos?????2??1?K??K?sin2?L??L?L2??L??L??化简得：sin???cos?????1?cos??????，此即为该生产函数的扩展线方程。
KK?K??K?K3????????
11．对于规模报酬不变的生产函数Q?f?L,K?来说，若其满足欧拉定理，则有
Q??f?f?L??K?fLL?fKK ?L?K运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果MPL?APL，则MPK必为负数。这意味着
生产应在何处进行呢？一个企业能够在APL递增的点进行生产吗？
答：（1）由Q??f?f?L??K?fLL?fKK，可得： ?L?KAPL?QKK?fL?fK?MPL?MPK? LLLKKK，即MPK??0，而?0，故MPK?0。 LLL如果MPL?APL，即有MPL?APL?MPL?MPK（2）由于MPK?0，即资本的边际产量为负，这意味着生产在投入要素K的第三阶段进行生产。
（3）一个企业不能在APL递增的点进行生产。
当MPL?APL时，APL处于递增阶段，由（1）的证明可知，此时MPK?0，这意味着生产在投入要素K的第三阶段生产，这是生产的不经济区域，所以厂商不会在这个阶段进行生产。
12．请运用欧拉定理证明，对于只有两种投入（K与L）的一个规模报酬不变的生产函数，fKL必定为正。请解释这一结论。
证明：对于规模报酬不变的生产函数Q?f?L,K?而言，根据欧拉定理，有：
Q?fLL?fKK
f?K,L??LfL1L，故fKL??fL?fLL?L?fL???fLL。
KKK如果边际报酬递减的假设成立，即fLL?0，从而fKL?0。
从而fK?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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fKL?0说明，在规模报酬不变和边际报酬递减的条件下，任何一种要素的边际产出都会
随着另一种要素投入的增加而增加。
13．证明C-D生产函数和CES生产函数的扩展线均为线性形式。
证明：（1）对于C-D生产函数Q?f?L,K??AL?K1??，根据生产的最优条件?AL??1K1???Kw?1???wL，即扩展线为通过原MPL/MPK?w/r，即??，所以K??r?1???AL?K???1???Lr点的一条直线。
（2）对于CES生产函数Q?f?L,K??A???L??1???K???????1?有：
1?1??Q???????1MPL??A?????L??1???K??????L???1???L?????A???L??1???K??????1??1?L???11??A1??????1?????????????L?1??KL???A?
???A??L?1????Q?1???Q1???Q?????同理，MPK??KA?K?。
??Q?1??1??????K?wA??L??根据生产的最优条件MPL/MPK?w/r，即???。 1??r?1????L?1???Q???A??K???1???w??K?????r?11??L，即扩展线为通过原点的一条直线。
14．试证明在CES生产函数中
Q?A???K????1???L?????1?（A?0，0???1，??0）
当??0时，即为C-D的生产函数。
证明：对CES生产函数两边取对数：lnQ?lnA?当??0时，对上式两边取极限，得：
limlnQ?lnA?lim??0??0????ln???L??1???K??1?????ln???L??1???K??。
?
其中，利用L 'Hospital法则，有：
lim??0????ln???L??1???K????L????lnL???1???K????lnK??lim???lnL??1???lnK ??0?L????1???K??985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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故limlnQ?lnA?????lnL??1???lnK???lnA??lnL??1???lnK，即：
Q?AL?K1??
其中A?0，0???1。
故当??0时，CES生产函数变成C-D生产函数。
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