抛物型方程有限差分法
抛物方程差分法的构造在空间方向上与椭圆方程类似，在时间方向上用一阶差商代替代替一阶微商。然后在时间方向上逐层求解。特别当空间维数较高时，可以使用局部一维格式大大降低计算量。
1. 简单差分法
考虑一维模型热传导方程 (1.1)
?u?2u?a2?f(x)，0?t?T ?t?x其中a为常数。f(x)是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：
第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数u?x,t?，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） u?x,0????x?,
???x??
第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数u?x,t?，满足方程（1.1）和初始条件：
?1.3?1 u?x,0????x?, 及边值条件
?l?x?l
?1.3?2 u?0,t??u?l,t??0，
0?t?T
假定f?x?和??x?在相应的区域光滑，并且于?0,0?，?l,0?两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取
h?lN为空间步长，??TM为时间步长，其中N，M是
自然数，
x?xj?jh, ?j?0,1,?,N?；
y?yk?k?, ?k?0,1,?,M?
将矩形域G??0?x?l;示网格节点；
0?t?T?分割成矩形网格。其中 ?xi,yj?表
Gh表示网格内点（位于开矩形G中的网格节点）的集合；
Gh表示位于闭矩形G中的网格节点的集合； ?h表示Gh-Gh网格边界点的集合。
ukj表示定义在网点?xi,tk?处的待求近似解，0?j?N，0?k?M。注意到在节点?xi,tk?处的微商和差商之间的下列关系
?u??u?(xj,tk)）（?： ????t?j?tu?xj,tk?1??u?xj,tk???u?????O??? ??t?j??u?????O?2??t?jkkk?u?xj,tk?1??u?xj,tk?1?2???
u?xj?1,tk??u?xj,tk???u?k????O?h?
h??x?ju?xj,tk??u?xj?1,tk?hu?xj?1,tk??u?xj?1,tk?2h??u?????O?h? ??x?j??u?????Oh2??x?jkkk??
u?xj?1,tk??2u?xj,tk??u?xj?1,tk?h2??2u?2????Oh??x2???j??
可得到以下几种最简差分格式
（一） 向前差分格式
?1.4?1 ?1.4?2
?1kuk?ujj??akkuk?2u?uj?1jj?1h2?fj
?fj?f?xj??
u0j??j???xj?，
kk=uN=0 u0其中j?0,1,?,N?1，k?0,1,?,M?1。取r?a?为网比，则进一步2h有
?1.4??1
?1kk1?2r?ukukj=ruj?1+?j+ruj?1+?fj
此差分格式是按层计算：首先，令k?0，得到
01?2r?u0u1j=ru0j?1+?j+ruj?1+?fj
k于是，利用初值u0j??j???xj?和边值u0k=uN=0，可算出第一层的
?kk=uN=0u1j，j?0,1,?,N?1。再由?1.4?1取k?1，可利用u1j和u0算出
ukju2j，
j?0,1,?,N?1。如此下去，即可逐层算出所有
（j?0,1,?,N?1，k?0,1,?,M?1）。
由于第?k?1?层值可以通过第?k?层值直接得到，如此的格式称为显格式。并视ukj为u?xj,tk?的近似值。
若记
kkuk?u1k,u2,?,uN?1??，?????x?,??x?,?,??x??，f???f?x?,?f?x?,?,?f?xTT12N?112N?1??T
则显格式?1.4??1可写成向量形式
?uk?1?Auk?f,k?0,1,?,M?1 ?0?u??其中
r0?0??1?2r??r1?2rr????A??0???0? ???r1?2rr????0??0r1?2r??若记
?u?2uLu??a2?t?x
Lhu??1?kj?1uk?ukjj??akkukj?1?2uj?uj?1h2那末截断误差
1???2u~~??12?（1.5）R?u??Lhu?xj,tk???Lu?=??????= ??O??h??(x,t)?O?jk2???12r2???t?kj?1?kj?k)是矩形xj?1?x?xj?1，tk?t?tj?1中某一点。 ?j,t其中(x事实上，Rkj?u?????2u?k2??+O?2?2???x?j????h2??4u? ?a??4??12??x?jh21?a??12a2kk=
???2u?k2??+O?2?2???x?j????2u??2????O?2??t???jk??
~??1h21???2u2????O?=??????? 2???12a?2???t?j2~??11???u2??O?=??????2???12r2???t?jk??=O???h?。
2这里
?4u?2a4?a2?x?x??2u??2???x2???a?x2??2?3u?1?u????u?????2???2?a?t??x??t??x?t
?2u?2??u????2u??3ua2??2?????2??t?t??t??t??x???x?t4??4u??2u2?u故2?a??a4??a???t?x4??x?
?4u1?2u，从而4??2?xa?t
（二） 向后差分格式
?1.6?1 ?1.6?2
其中 步有 ?1.6??1
?1uk?ukjj??a?1k?1?1uk?ukj?1?2ujj?1h2?fj
?fj?f?xj??
u0j??j???xj?，
kk=uN=0 u0j?0,1,?,N?1，k?0,1,?,M?1。取r?a?h2为网比，则进一
?1?1k1?2r?uk?ruk?rukj?1+?jj?1=uj+?fj
按层计算：首先，取k?0，则利用初值u0j??j???xj?和边值
kk=uN=0，来确定出第一层的u1j，j?0,1,?,N?1，即求解方程u0组：
?ru1j?1+?1?2r?u1j?ru1j?1=u0j+?fj
kkj?0,1,?,N?1，u0=uN=0。求出u1j，在由?1.4??1取k?1，可利用u1j，
解出u2j，j?0,1,?,N?1。如此下去，即可逐层算出所有ukj，
k?0,1,?,M?1。
如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。并视ukj为u?xj,tk?的近似值。
直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。
1.2.3 Grank-Nicholson法
将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差