分格式称之为六点对称格式，也称为Crank-Nicholson格式：
?1.8?1
?1uk?ukjj??kkkk?1k?1k?1a?uj?1?2uj?uj?1uj?1?2uj?uj?1?????fj 222?hh???
?fj?f?xj??
?1.8?2
进一步， ?1.8??1
?u0j??j???xj?，
kk=uN=0 u0rk?1rk?1rkrk?1k??=+??1?ruj?1+?1?r?ukuuuu+?fj jj22j?12j?12j?1
按层计算：首先，取k?0，则利用初值u0j??j???xj?和边值
kk=uN=0，来确定出第一层的u1j，j?0,1,?,N?1，即求解方程u0组：
r1rrr00???+1?ruj?1+?1?r?u1j?u1j?1=u0uu+?fj j222j?12j?1
kkj?0,1,?,N?1，u0=uN=0。求出u1j，在由?1.8??1,取k?1，可利用u1j，
?解出u2j，j?0,1,?,N?1。如此下去，即可逐层算出所有ukj，
k?0,1,?,M?1。
若记
?u?2uLu??a2?t?x
L?h3?ukj??1uk?ukjj?kkkk?1k?1k?1a?uj?1?2uj?uj?1uj?1?2uj?uj?1??????fj 222?hh???在(x,t)?(xj,(tk?tk?1)/2)处作Taylor 展开，可以算出截断误差为 （1.7）
（四）Richardson格式
?3??2?h2?。+ Rkj?u??Lhu?xj,tk???Lu?j=O?k
（1.10） 进一步 ?1.10??1
?1?1uk?ukjj2??akkukj?1?2uj?uj?1h2+fj
k?1kkk?12r=（+）+?2uukuuujjj?1j?1j+2?fj
这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为O??2?h2?。为使计算能够逐层进行，除初值u0j外，还要用到u1j。它可以用其他双层格式提供。
Richardson格式的矩阵形式为：
?uk?1?Cuk?uk?1??f,k?1,?,M?1?u0?? ??u1另算?其中
?2???1C??2r??0????0??10??2?1??????0? ???12?1??0?12???0
2 稳定性与收敛性
抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式: (2.1)
AUk?1?BUk??F
kTAB是N?1阶矩阵。其中Uk?(u1k,?uN我们假?1), F?(f1,?,fN?1)，和
定A可逆，即（2.1）是唯一可解的。对于显格式，A等于单
?Uk?位矩阵I。三层格式可以通过引入新变量W??k?1?化成两层
?U?k格式。
假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差，
以后各层计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令?Uk?和?Vk?分别是以U0和V0为初始值由差分格式（2.1）得到的两组差分解，则Wk?Uk?Vk满足 （2.2） 因此，按初值稳定应该意味着Wk义：
假设F?0，我们称差分格式（2.1）按初值稳定，如果存在正常数?0和K，使得以下不等式成立： （2.2）
?U0?RN?1, 0????0, 0?k??T
Uk?KU0AWk?1?BWk
?KW0。这就导致如下定
，
这里
?是RN?1上的某一个范数，例如
?N?12?U???hju??j?1?1/2
类似地，假设U0?0，我们称差分格式（2.1）按右端稳定，如果存在正常数?0和K，使得以下不等式成立： （2.2）
Uk?KF， ?0????0, 0?k??T
可以证明，差分格式若按初值稳定，则一定按右端稳定。前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比r?1时稳定，当r?12因此，这时我们简单地称差分格式稳定。
2时不稳定。这就意味着给定空间步长h以后，时间步长?必须足够小，才能保证稳定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比r都是稳定的，
时间步长?可以取得大一些，从而提高运算效率。Richardson格式则对任意网比都是不稳定的。因此，虽然Richardson格式是个显格式，截断误差又很小，但是却不可用。
如果某个差分格式的截断误差当?和h趋于0时随之趋于
0，则称这个差分格式是相容的。可以证明：若差分格式是相容的和稳定的，则它是收敛的，并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因此，当网比r?1时，向前差
2分格式（1.4）有收敛阶O(??h2)。对任何网比，向后差分格式（1.6）有收敛阶O(??h2)，而Crank-Nicholson格式（1.8）有收敛阶O(?2?h2)。
3．高维抛物方程差分法
考虑如下二维抛物方程的差分格式。
??u?2u?2u??t??x2??y2, x,y?(0,l), t?0?? ?u(x,y,0)??(x,y)?u(0,y,t)?u(l,y,t)?u(x,0,t)?u(x,l,t)?0???（3.1）
取空间步长h?l/N，时间步长??0。作两族平行与坐标轴的网线x?xj?jh，y?yk?kh，其中j,k?0,1,?,N，将矩形区域(0,l)?(0,l)分割成N2个小矩形。记unjk为网格节点(xj,yk,tn)上的差分解。 前述各种一维差分格式都可以直接用于以（3.1）为代表的二维以至更高维的抛物方程。例如，向前差分格式成为 （3.2）
?1nun?ujkjk??nnun?2u?uj?1k,jkj?k1,h2?nnun?2u?ujk?,1jkjk?h2 ,1
n?0,1?,T?,?j1;k ??,1N,? ,1实际计算时，先令n?0，利用已知的u0jk??(xj,yk)等等，对
j,k?1,?,N?1，用（3.2）算出u1jk。而由边值条件，补充得到
1111n?1，利用已知的第u0,k?uN,k?uj,0?uj,N?0。下一步，令
1层的
差分解?u1jk?类似地算出第2层的差分解?u1jk?。以此类推，直到n?T?1。
? 各种隐格式，例如向后差分格式和Crank-Nicholson格
式，也可以类似地推广用于高维情形。每次计算新的一层差分解时，同样需要求解一个线性方程组。但是，这个线性方程组不再是三对角的，方程组阶数为O(Np)，其中p是抛物方程的维数。因此，求解成本大大增加，甚至导致无法求解。为了克服这一困难，人们提出了各种降维技巧，局部地把高维问题化成一维问题求解。下面给出的求解二维抛物方程的LOD格式（局部一维格式）就是其中一例。 （3.3a） （3.3b） 其中
?u?2xmjkmmumj?1,k?2uj?ku?1j,?1/2nun?ujkjk?/2?12n??x(ujkh21/2njk?u)
?1n?1/2unjk?ujk?/2T?12n?1n?1/2?(ujk?ujk) 2yhj,k?1,?,N?1
n?0,1?,??,；1
h2?，
k2yu?mjkumj,k?1?2umj?kum?,jh2 1kLOD格式的计算步骤可以总结如下：
1） 令n?0。 2）
k?1。
3） 求解三对角线性方程组（3.3a）得到差分解
?un?1/21,kn?1/2n?1/2,u2,,?,uNk?1,k?。
4） 若k?N，则k增加1，转步骤3）。否则转5）。 5） 令j?1。
6） 求解三对角线性方程组（3.3b）得到差分解
?unj,1n,unj,2,?,uj,N?1?。
7） 若j?N，则j增加1，转步骤6）。否则转8）。 8） 若n?T/?，则n增加1，转步骤2）。否则结束。
LOD格式的基本想法是，由第n层计算n?1/2层时，对
k?1,?,N?1，依次固定y?yk，然后计算y?yk这条直线上各个
网点上的近似值；因为这时y不变，所以原来的二维微分方程退化为关于x的一维微分方程。接着，当由第n层计算n?1/2层时，则依次固定x?xj。LOD格式可以直接推广到任意维抛物方程。LOD格式对任意网比都是稳定的，截断误差阶和收敛阶是O(?2?h2)。