武汉理工大学研究生考试试题（2010）
课程 矩阵论
（共4大题，答题时不必抄题，标明题目序号）
一、（30）设V???(x1,x2,x3,x4)x1?x2?0为R的子集合， 1、证明：V是R的线性子空间； 2、求V的维数与一组基；
3、???(x1,x2,x3,x4)T,??(y1,y2,y3,y4)T?V，定义
4?T?4(?,?)?x1y1?4x2y2?9x3y3?16x4y4
证明：(?,?)是V的一个内积；
4、求V在3中所定义的内积下的一组标准正交基；
5、设??(1,1,1,1)T，求V的生成子空间W?L(?)的正交补W一组基。
二、（20分）设F[t]3?f(t)?a2t?a1t?a0ai?R为所有次数小于3的实系数多项式所成的线性空间，对于任意的f(t)?a2t2?a1t?a0?F[t]3，定义：
??2?T[f(t)]?(a0?a1)t2?(a2?a0)t?(a1?a2)
1、证明：T是F[t]3上的线性变换； 2、求T在基1,t,t2下的矩阵A。 三、（20分） 设矩阵
?00?2???A??010?
?103???1、求A的行列式因子，不变因子，初级因子； 2、求A的Jordan 标准形； 3、求A的最小多项式。 四、（30分） 已知
?101??0?????A??011?, b??1?
?101??1?????1、求A的满秩分解； 2、求A；
3、求AX?b的最小二乘解；
4、求AX?b的极小范数最小二乘解； 5、求Ab的
1?,2,?范数。
6、利用Gram-Schmidt正交化过程求A的QR分解；