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2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）
理科数学
本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的． 1．设z?1?i?2i，则z?（ ） 1?i1 C．1 D．2 2A．0 B．
2?1?i??2i1．【解析】z??2i??2i?i，则z?1?i??1?i?2?1，选C．
2．已知集合A?{x|x2?x?2?0}，则CRA?（ ）
A．{x|?1?x?2} B．{x|?1?x?2} C．{x|x??1}?{x|x?2} D．{x|x??1}?{x|x?2} 2．【解析】CRA?{x|x2?x?2?0}?{x|?1?x?2}，故选B．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
第三产业收入
种殖收入
第三产业收入
60%
30%
养殖收入
建设前经济收入构成比例
则下面的结论中不正确的是（ ） A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
3．【解析】经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，所以建设前与建设后在比例相同的情况下，建设后的经济收入是原来的2倍，所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%，故选A． 4．记Sn为等差数列?an?的前n项和．若3S3?S2?S4，a1?2，则a5?（ ）
A．?12 B．?10 C．10 D．12
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28%
种殖收入
37%
30%
养殖收入
建设后经济收入构成比例
5% 其他收入
6% 4% 其他收入
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4．【解析】令?an?的公差为d，由3S3?S2?S4，a1?2得3(3a1?3d)?6a1?7d?d??3，则
a5?a1?4d??10，故选B．
5．设函数f(x)?x3?(a?1)x2?ax．若f(x)为奇函数，则曲线y?f(x)在点(0,0)处的切线方程为（ ）
A．y??2x B．y??x C．y?2x D．y?x
5．【解析】x?R，f(?x)?f(x)??x3?(a?1)x2?ax?x3?(a?1)x2?ax?2(a?1)x2?0，则a?1，则f(x)?x3?x，f?(x)?3x2?1，所以f?(0)?1，在点(0,0)处的切线方程为y?x，故选D． 6．在?ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?（ ）
A．
31133113AB?AC B．AB?AC C．AB?AC D．AB?AC 444444441111113(BA?BD)?(BA?BC)?BA?(AC?AB)?AC?AB， 2222444A E
B
A B D
C
6．【解析】BE?31则EB?AB?AC，故选A．
447．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图． 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面 上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上， 从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．217 B．25 C．3 D．2
7．【解析】将三视图还原成直观图，并沿点A所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点M到点N的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为25，故选B．
2M(A) N(B) M 2 4 N 16 8．设抛物线C:y?4x的焦点为F，过点(?2,0)且斜率为（ ）
2的直线与C交于M,N两点，则FM?FN?3A．5 B．6 C．7 D．8
2?y?(x?2)?x?1?x?4?8．【解析】由方程组?，解得?或?，不妨记M(1,2),N(4,4)．又F为(1,0)，所以3?y?2?y?4?y2?4x?FM?FN?(0,2)?(3,4)?8，故选D．
?ex,x?09．已知函数f(x)??，g(x)?f(x)?x?a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
lnx,x?0?A．??1,0? B．?0,??? C．??1,??? D．?1,???
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9．【解析】若g(x)存在2个零点，即f(x)?x?a?0有2个不同的实数根，即y?f(x)与y??x?a的图像有两个交点，由图可知直线y??x?a不在直线y??x?1的上方即可，即?a?1，则a??1．故选C．
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC．?ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3，则（ ）
B C A．p1?p2 B．p1?p3 C．p2?p3 D．p1?p2?p3
10．【解析】令Rt?ABC角A,B,C分别对应的边长为a,b,c，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ对应的面积分别为s1,s2,s3．则
A y=ex y 1 O 1 y=lnx x 11?a?1a2??4bc1?c?1?b?b2?c2?a2??4bcs1?bc；s3?????bc?；s2?????????s3?，因
22?2?282?2?2?2?8222为b?c?a，所以s2?222??1bc．所以s1?s2?p1?p2，故选A． 2x2?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点11．已知双曲线C:3分别为M,N．若?OMN为直角三角形，MN?（ ）
A．
3 B．3 C．23 D．4 2?F为(2,0)，11．【解析】如图所示，不妨记?OMF?90，渐近线为y??3?所以?MOF??NOF?30，x，3则OM?OFcos?MOF?3,MN?OMtan?MON?3，故选B．
O N y M F x 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
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A．
3332323 B． C． D．
344212．【解析】正方体中，连接顶点M,N,P,Q，三棱锥Q?MNP为正三棱锥，侧棱与底面所成的角都相等，所以正方体的每条棱与平面MNP所成的角均相等，不妨令平面?//平面MNP．易知，当平面?截得正方体的截面为如图所示的平行六边形ABCDEF时截面的面积可以取到最大值．不妨取AM?x(0?x?1)，则
AF?ED?BC?2x，AB?EF?CD?2(1?x)，CF//MN且CF?MN?2，等腰梯形ABCF、
DEFC的高分别为
66(1?x)和x，所以 22?3x??(?2x2?2x?1)． ?2?(2x?2)6??(2(1?x)?2)6SABCDEF?SABCF?SDEFC???(1?x)????2222???当x?13333时，截面面积的最大值为．故选A． ??2224B A M F E D P Q N C
2(1?x) A 2x
B 2(1?x)
F 2x C
2x
E 2(1?x) D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
?x?2y?2?0?13．若x,y满足约束条件?x?y?1?0，则z?3x?2y的最大值为 ．
?y?0?13．【解析】可行域为?ABC及其内部，当直线y??
C y 1 A －1 O －1 B 2 x 3zx?经过点B(2,0)时，zmax?6． 2214．记Sn为数列?an?的前n项和．若Sn?2an?1，则S6? ．
14．【解析】由a1?S1?2a1?1得a1??1，当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?1?2an?1?1，即所以?an?是等比数列，S6??1???2????4????8????16????32???63．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
an?2，an?1第 4 页 共 11 页
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122115．【解析】恰有1位女生的选法有C2C4?12种，恰有2位女生的选法有C2C4?4种，所以不同的选法
共有16种．
16．已知函数f(x)?2sinx?sin2x，则f(x)的最小值是 ．
16．【解析】因为f(x)是奇函数，且f(x)?f(x?2?)，即周期为2?，所以只需要研究f(x)在???,??上的图像．又f?(x)?2cosx?2cos2x?2(2cos2x?cosx?1)?2(2cosx?1)(cosx?1)，则f(x)在
???,??上的极值点为x???,?,?，因为f(??)??f(?)??3333233,f(?)?0，所以f(x)min??
33
． 2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
??在平面四边形ABCD中，?ADC?90，?A?45，AB?2，BD?5．
（1）求cos?ADB； （2）若DC?22，求BC．
17．【解析】（1）如图所示，在?ABD中，由正弦定理
BDAB?， sinAsin?ADBA
得sin?ADB?2， 5B
??ADC?90?，??ADB为锐角，
?cos?ADB?1?sin2?ADB??23； 5?D C （2）??ADC?90，?cos?CDB?cos(90??ADB)?sin?ADB?若DC?22，
2， 5则在?BCD中，由余弦定理BC?BD?DC?2BD?DC?cos?CDB， 得BC?
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点， 以DF为折痕把?DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF． （1）证明：平面PEF?平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
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22225?8?2?5?22?2?5． 5P
D E B F C