第三章 微分方程方法
3.1微分方程的一般理论
微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题。
3.1.1 微分方程的一般形式
一阶微分方程
?dx??f(t,x) (3.1) ?dt??x(t0)?x0其中f(t,x)是t和x的已知函数，x(t0)?x0为初始条件，又称定解条件。
一阶微分方程组
?dxi?fi(t,x1,x2,?,n) (i?1,2,?n)? （3.2） ?dt?x(t)?x(0) (i?1,2,?n)i?i0又称为一阶正规方程组。如果引入向量
(0)(0)(0)Tx?(x1,x2,?,xn)T，x0?(x1,x2,?,xn)，
dx?dx?dx1dx2f?(f1,f2,?,fn)，??,,?,n?。
dt?dtdtdt?TT则方程组（3.2）可以写为简单的形式
?dx??f(t,x) （3.3） ?dt??x(t0)?x0即与方程（3.1）的形式相同，当n?1时为方程（3.1）。
对于任一高阶的微分方程
?dnxdxdn?1x?， ?f?t,x,,?,n?1?n??dtdtdt??dydix如果记i?yi，（i?0,1,2,?,n?1），则方程为n?1?f(t;y0,y1,?,yn?1)，即可化为
dtdt一阶方程组的形式：
?dy0 ?dt?y1, ?dy1??y2, dt? ????
?dyn?2 ?dt?yn?1, ?dy?n?1?f(t;y0,y1,?,yn?1)．?dt特别地，当高阶微分方程
?dnxdxdn?1x?， ?f?t,x,,?,n?1?n??dtdtdt??为线性微分方程时，即
dnxdn?1xdn?2xd2xdx?a?a???a?a?a0x??(t)， n?1n?221dtdtndtn?1dtn?2dt2此时高阶微分方程转化的一阶方程组就为
?dy0 ?dt?y1, ?dy1??y2, ?dt ???? ?dyn?2 ?dt?yn?1, ?dy?n?1?a0y0?a1y1???an?2yn?2?an?1yn?1??(t)．?dt它就可以用矩阵方式写为
?y0??0?y??1??d? ?????dt???y?n?2????yn?1????a0101??0a1?an?2??y0??0???y??0???1???????????? ?????1??yn?2??0?an?1???(t)?????yn?1???在很多情况下，它是比较容易计算的。因此，下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论。
3.1.2微分方程解的存在惟一性
正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理。
定理3.1（Cauchy-Peano）如果函数f(t,x)在区域R:t?t0?a;x?x0?b上连续，则方程组（3.3）在t?t0?h上有解x??(t)满足初值条件x0??(t0)，此处
?b?（此处区域R:t?t0?a;x?x0?b中的x?x0?bh?min?a,?,M?maxf(t,x)。
(t,x)?R?M?要理解为范数）。
定理3.2 如果函数f(t,x)在区域R:t?t0?a;x?x0?b上连续，且满足利普希茨
(1)(2)(1)(2)(Lipschitz)条件（即存在正常数L使得f(t,x)?f(t,x)?Lx?x，其中
，则方程组（3.3）满足初值条件x0??(t0)的解是惟一的。 (t,x(1)),(t,x(2))?R）
定理 （解对初值的连续依赖定理）假设函数f(t,x)在区域R:t?t0?a;x?x0?b上连续且满足利普希茨(Lipschitz)条件，(t0,x0)?R，x??(t,t0,x0)是方程
dx?f(t,x) （3.3.1） dt满足条件x(t0)?x0的解，它于区间t?t0?a上有定义，那么，对于任意给定的??0，必能找到正数???(?,a)，使得当
t1?t02?x1?x02??2
时，方程（3.3.1）的满足条件x(t1)?x1的解x??(t,t1,x1)在t?t0?a上也有定义，并且
?(t,t0,x0)??(t,t1,x1)?? t?t0?a。
定理证明详略，其中最后一个定理在下面还要详细讲述。常微分方程的存在性、惟一性、连续性统称为适定性。
[8]
3.1.3微分方程的稳定性问题
在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素。这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化。在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题。这里仍以方程组（3.3）为例讨论。
1.有限区间的稳定性
如果f(t,x)在某个有限的区域G?Rn?1内连续，且对x满足利普希茨，x??(t)
(a?t?b)是方程组（3.3）的一个特解，则当x0充分接近于?(t0)(a?t0?b)时，方程组
（3.3）在a?t?b上满足初值条件x0?x(t0)的x??(t,t0,x0)有
x0??(t0)lim?(t,t0,x0)??(t) （a?t?b），
即对任意给定的??0，总存在相应的?(?)?0，当x0??(t0)??(?)时，对一切a?t?b有
?(t,t0,x0)??(t)??，
此时称方程组（3.3）的解x??(t)在有限区间a?t?b上是稳定的。
2.无限区间的稳定性
如果x??(t)(t?t0)是方程组（3.3）的一个特解，x??(t,t0,x0)（t?t0）是方程组（3.3）满足初值条件x0?x(t0)的解。对任意给定的??0，总存在相应的?(?)?0，当x0??(t0)??(?)时，对一切t?t0有
?(t,t0,x0)??(t)??
则称方程组（3.3）的解x??(t)在无限区间t?t0上是稳定的，即无限区间上的稳定。
3.渐进稳定性
如果方程组（3.3）解x??(t)在无限区间t?t0上是稳定的，且存在?0?0，当
x0??(t0)??0时，有
lim(?(t,t0,x0)??(t))?0
t??则称x??(t)是渐进稳定的，或称局部稳定渐进稳定性。
如果上述?0??（或给定的一个有限常数），则相应的渐进稳定性称为全局渐进稳定性（或大范围渐进稳定性）。
4.经常扰动下的稳定性 对于方程组（3.3），考虑相应方程组
dx?f(t,x)?R(t,x) （3.4） dt这里的R(t,x)称为扰动函数。
如果对任意给定的??0，总存在?(?)?0和?(?)?0，使得当x0??(t0)??(?)时有
R(t,x)??(?)
则方程组（3.4）有满足初值条件x0?x(t0)的解x??(t,t0,x0)（t?t0）。且当t?t0时有
?(t,t0,x0)??(t)??
就说方程组（3.3）的特解x??(t)在经常扰动下是稳定的。
5.研究稳定性的方法
实际中，要研究方程组（3.3）的解x??(t)的稳定性问题。可以转化为研究方程组的零解（平凡解）的稳定性问题。
微分方程组的平凡解就是指的当它的解为常数或常向量。 事实上：
对于方程组（3.3）的任一特解x??(t)，只要令y?x??(t)，则
dydxd?(t)???f(t,x)?f(t,?(t)) dtdtdt?f(t,y??(t))?f(t,?(t))?g(t,y)
显然有g(t,0)?0。故方程组（3.3）转化为
dy?g(t,y)。 （3.5） dt由y?x??(t)（其中?(t)理解为已求得）可知，方程组（3.3）的解x??(t)对应于方程组（3.5）为y?0（平凡解）。因此，要研究方程组（3.3）的x??(t)的稳定性问题可转化为研究方程组（3.5）的平凡解y?0的稳定性问题。
如果微分方程组的所有解都能简单地求出来，一个特解的稳定性问题的研究是复杂的，通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究。
3.2微分方程的平衡点及稳定性
3.2.1 微分方程的平衡点
设有微分方程组（3.3），对于x?(x1,x2,?,xn)T?Rn，t?[a,b],f(t,x)在某个区域内连续，且满足解的存在惟一性条件。如果存在某个常数x0?Rn，使得f(t,x0)?0，则称点x0为方程组（3.3）的平衡点（或奇点），且称x?x0为方程组的平凡解（或奇解）。
如果对所有可能初值条件，方程组（3.3）的解x??(t)都满足
lim?(t)?x0， （此处t??理解为t???）
t??则称平衡点x0是稳定的（渐进稳定）；否则是不稳定的。
实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法：间接方法和直接方法
t??[3]
。
间接方法：首先求出方程的解x??(t)，然后利用定义lim?(t)?x0来判断。