顺义区2015届高三第一次统一练习 数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合A?{x|x2?3x?2?0}，B?{?2，?1，1，2}，则A?B?
A.{?2，?1} B.{?1，2} C.{1，2} D.{?2，-1，1，2}
2.在复平面内，复数(1?2i)2对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 “??3.
?2”是“曲线y?sin(x??)关于y轴对称”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.当n?5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A.2 B.4 C.7 D.11
xy5.若4?4?1，则x?y的取值范围是
A.[0,1] B.[?1,0]
C.[?1,??) D.(??,?1]
x2y256.若双曲线2?2?1的离心率为，则其渐近线方程为
ab211A.y??2x B.y??4x C.y??x D.?x
24?kx?y?4?2y?x?4? 7.若x,y满足?且z?5y?x的最小值为?8，则k的值为 ，?x?0??y?011A.? B. C.?2 D.2
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8.已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x?0时，有f(x?1)??f(x)，且当x?[0,1)时，
f(x)?log2(x?1)，给出下列命题
① f(2014)?f(?2015)?0； ②函数f(x)在定义域上是周期为2的函
数； ③直线y?x与函数f(x)的图象有2个交点；④函数f(x)的值域为(?1,1). 其中正确的是
A.①，② B.②，③ C.①，④ D.①，②，③，④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9.已知圆的极坐标方程为??6sin?，圆心为M，点N的极坐标为(6,则|MN|?
?6)，
??????10．设向量a?(3,1),b?(2,?2)，若(?a?b)?(?a?b)，则实数??
11.已知无穷数列{an}满足：a1??10,an?1?an?2(n?N?).则数列{an}的前n项和的最小值为
12. 如图，在圆内接四边形ABCD中，AB//DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB?AD?BC?5,AE?6，则BE?
DC?
13. 如果在一周内（周一至周日）安排四所学校的学生参观顺义啤酒厂，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 __________种（用数字作答）.
14.已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0),x?R.又f(x1)??2,f(x2)?0且
|x1?x2|的最小值等于?.则?的值为
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三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）
在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b?32,sinB?(I)求a的值; (II)求cosC的值.
16.（本小题满分13分）
?6, B?A?.
23某农民在一块耕地上种植一种作物，每年种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地
上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（I）设X表示该农民在这块地上种植1年此作物的利润，求X的分布列；
（II）若在这块地上连续3年种植此作物，求这3年中第二年的利润少于第一年的概率.
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17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD?DC，平面PAD?底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，
PA?PD?2,BC?1AD?1,CD?3. 2（I）求证：PQ?AB；
（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （III）求二面角P?QB?M的余弦值.
18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?ax?ax?lnx.
（I）当a?0时，求函数f(x)的单调区间；
（II）设g(x)?ax?f(x)，且函数g(x)在点x?1处的切线为l，直线l?//l，且l?在
2222y轴上的截距为1.求证：无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线l?的下方.
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19.（本小题满分14分） 已知椭圆C：3x2?4y2?12. （I）求椭圆C的离心率；
（II）设椭圆C上在第二象限的点P的横坐标为?1，过点P的直线l1,l2与椭圆C的另一交点分别为A,B.且l1,l2的斜率互为相反数，A,B两点关于坐标原点O 的对称点分别为
M,N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.
20.（本小题满分13分）
13项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)在二次函数y?f(x)的图象上.
（I）求数列{an}的通项公式；
已知二次函数y?f(x)的图象的顶点坐标为(?1,?)，且过坐标原点O.数列{an}的前n（II）设bn?anan?1cos(n?1)?,(n?N?)，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn?tn2对
n?N?恒成立，求实数t的取值范围；
（III）在数列{an}中是否存在这样一些项：an1,an2,an3,?,ank,?(1?n1?n2?n3
???nk??,k?N?)，这些项都能够构成以a1为首项，q(0?q?5,q?N?)为公比的
等比数列{ank},k?N？若存在，写出nk关于k的表达式；若不存在，说明理由.
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